2021河南工業(yè)大學(xué)高等代數(shù)專業(yè)研究生考試大綱 正文

一、要求和知識(shí)點(diǎn)
1. 一元多項(xiàng)式
（1）考試要求
.理解數(shù)域的概念。
.掌握一元多項(xiàng)式的運(yùn)算規(guī)律，掌握整除的概念和性質(zhì)，并會(huì)運(yùn)用帶余除法。
.掌握輾轉(zhuǎn)相除法，并會(huì)求最大公因式，掌握互素的概念和性質(zhì)。
.掌握不可約多項(xiàng)式的概念和性質(zhì)，理解因式分解定理。
.掌握重因式的概念和判別。
.理解多項(xiàng)式函數(shù)概念，掌握余數(shù)定理。
.掌握實(shí)系數(shù)、復(fù)系數(shù)和有理系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解及判別法。
（2）知識(shí)點(diǎn)
一元多項(xiàng)式，因式分解，整除，有理系數(shù)多項(xiàng)式，最大公因式，重因式等
2. 行列式和矩陣
（1）考試要求
.理解行列式的概念和性質(zhì)。
.掌握常見行列式的計(jì)算方法。
.理解矩陣的概念、掌握單位矩陣、數(shù)量矩陣、對(duì)角矩陣、對(duì)稱矩陣及其性質(zhì)。
.掌握矩陣的線性運(yùn)算、乘法、轉(zhuǎn)置、方陣的冪與方陣的乘積的行列式以及它們的運(yùn)算規(guī)則，并會(huì)進(jìn)行計(jì)算。
.掌握矩陣的初等變換，初等矩陣的概念，并會(huì)用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣。
.掌握逆矩陣的概念及性質(zhì)，以及矩陣可逆的條件，掌握利用伴隨矩陣求逆矩陣的方法。
.熟悉分塊矩陣及其運(yùn)算。
（2）知識(shí)點(diǎn)
行列式的概念和性質(zhì)，行列式的計(jì)算，矩陣的概念、矩陣的加、減、乘等運(yùn)算，數(shù)量矩陣，矩陣的轉(zhuǎn)置，矩陣乘積的行列式與秩，逆矩陣，矩陣的分塊，初等矩陣，矩陣的等價(jià)，分塊矩陣乘法的初等變換。
3. 向量組的線性相關(guān)性
（1）考試要求
.理解維向量空間，向量的線性組合與線性表示的概念。
.理解線性相關(guān)、線性無關(guān)的定義，并會(huì)應(yīng)用向量組線性相關(guān)，無關(guān)的有關(guān)性質(zhì)及判別法。
.理解向量組的極大無關(guān)組和向量組的秩的概念，會(huì)求向量組的極大無關(guān)組及秩。
.理解向量組等價(jià)的概念。
.理解矩陣秩的概念，會(huì)求矩陣的秩。
（2）知識(shí)點(diǎn)
線性組合，線性相關(guān)，線性無關(guān)，向量組和矩陣的秩。
4. 線性方程組
（1）考試要求
.了解消元法求解線性方程組。
.理解齊次和非齊次線性方程組的解的特點(diǎn)。
.掌握判定線性方程組解的情況的方法。
.理解線性方程組解的結(jié)構(gòu)。
（2）知識(shí)點(diǎn)
消元法,向量空間，線性方程組有解判別定理，線性方程組解的結(jié)構(gòu)，基礎(chǔ)解系。
5. 二次型
（1）考試要求
.掌握二次型及其矩陣表示，理解二次型秩的概念。
.掌握合同變換和合同矩陣的概念，理解二次型的標(biāo)準(zhǔn)形，規(guī)范形的概念，了解慣性定性及規(guī)范形的唯一性。
.掌握配方法和正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法。
.掌握正定二次型和正定矩陣的概念及判別。
（2）知識(shí)點(diǎn)
線性替換，n元二次型，標(biāo)準(zhǔn)形，二次型的矩陣，規(guī)范形，慣性定理，正定二次型。
6. 線性空間
（1）考試要求
.掌握線性空間定義與性質(zhì)。
.掌握線性空間的維數(shù)，基與坐標(biāo)的概念和求法。
.理解基變換與坐標(biāo)變換的概念，會(huì)求過渡矩陣。
.理解子空間的概念，掌握子空間的性質(zhì)及生成的條件。
.掌握兩個(gè)子空間的交與和的概念及性質(zhì)。
.了解線性空間的同構(gòu)的概念。
（2）知識(shí)點(diǎn)
線性空間的定義與簡單性質(zhì)，維數(shù)，基與坐標(biāo)，基變換與坐標(biāo)變換，線性子空間，子空間的交與和，線性空間的同構(gòu)。
7. 線性變換
（1）考試要求
.理解線性變換的定義和運(yùn)算。
.掌握線性變換的矩陣求法。
.掌握線性變換或矩陣的特征值與特征向量。
.掌握矩陣的相似對(duì)角化問題。
.理解線性變換的值域與核。
.掌握不變子空間的概念和證明方法。
（2）知識(shí)點(diǎn)
線性變換的定義，運(yùn)算，矩陣，線性變換的值域，核，線性變換的矩陣在某組基下的矩陣是對(duì)角矩陣的條件，不變子空間。
8. -矩陣
（1）考試要求
.了解多項(xiàng)式矩陣與矩陣多項(xiàng)式的關(guān)系，-矩陣等價(jià)與矩陣相似的關(guān)系。
.掌握行列式因子、不變因子、初等因子的概念與計(jì)算。
.掌握行列式因子與標(biāo)準(zhǔn)型的對(duì)應(yīng)，初等因子組與Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的對(duì)應(yīng)。
.掌握-矩陣可逆的定義與判別條件.會(huì)計(jì)算-矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形，復(fù)系數(shù)矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。
（2）知識(shí)點(diǎn)
-矩陣的相關(guān)概念、等價(jià)以及判定；行列式因子、不變因子、初等因子的相關(guān)概念與應(yīng)用；-矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形與Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。
9. 歐氏空間
（1）考試要求
.理解歐氏空間的定義及性質(zhì)。
.理解標(biāo)準(zhǔn)正交基的定義及判別方法。
.理解子空間的定義和正交補(bǔ)的求法。
.掌握正交變換和對(duì)稱變換的判別條件。
（2）知識(shí)點(diǎn)
歐氏空間的概念，標(biāo)準(zhǔn)正交基，子空間，正交變換，對(duì)稱變換。
二、教材及其參考書
[1] 《高等代數(shù)》北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組編，王萼芳 石生明 修訂，高等教育出版社，出版年2003.
[2]《高等代數(shù)》王萼芳 編．高等教育出版社，出版年2009.
[3]《高等代數(shù)選講》，張同斌，萬建軍主編，合肥工業(yè)大學(xué)出版社，2009

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