2021河南工業(yè)大學高等代數專業(yè)研究生考試大綱 正文

一、要求和知識點
1. 一元多項式
（1）考試要求
.理解數域的概念。
.掌握一元多項式的運算規(guī)律，掌握整除的概念和性質，并會運用帶余除法。
.掌握輾轉相除法，并會求最大公因式，掌握互素的概念和性質。
.掌握不可約多項式的概念和性質，理解因式分解定理。
.掌握重因式的概念和判別。
.理解多項式函數概念，掌握余數定理。
.掌握實系數、復系數和有理系數多項式的因式分解及判別法。
（2）知識點
一元多項式，因式分解，整除，有理系數多項式，最大公因式，重因式等
2. 行列式和矩陣
（1）考試要求
.理解行列式的概念和性質。
.掌握常見行列式的計算方法。
.理解矩陣的概念、掌握單位矩陣、數量矩陣、對角矩陣、對稱矩陣及其性質。
.掌握矩陣的線性運算、乘法、轉置、方陣的冪與方陣的乘積的行列式以及它們的運算規(guī)則，并會進行計算。
.掌握矩陣的初等變換，初等矩陣的概念，并會用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣。
.掌握逆矩陣的概念及性質，以及矩陣可逆的條件，掌握利用伴隨矩陣求逆矩陣的方法。
.熟悉分塊矩陣及其運算。
（2）知識點
行列式的概念和性質，行列式的計算，矩陣的概念、矩陣的加、減、乘等運算，數量矩陣，矩陣的轉置，矩陣乘積的行列式與秩，逆矩陣，矩陣的分塊，初等矩陣，矩陣的等價，分塊矩陣乘法的初等變換。
3. 向量組的線性相關性
（1）考試要求
.理解維向量空間，向量的線性組合與線性表示的概念。
.理解線性相關、線性無關的定義，并會應用向量組線性相關，無關的有關性質及判別法。
.理解向量組的極大無關組和向量組的秩的概念，會求向量組的極大無關組及秩。
.理解向量組等價的概念。
.理解矩陣秩的概念，會求矩陣的秩。
（2）知識點
線性組合，線性相關，線性無關，向量組和矩陣的秩。
4. 線性方程組
（1）考試要求
.了解消元法求解線性方程組。
.理解齊次和非齊次線性方程組的解的特點。
.掌握判定線性方程組解的情況的方法。
.理解線性方程組解的結構。
（2）知識點
消元法,向量空間，線性方程組有解判別定理，線性方程組解的結構，基礎解系。
5. 二次型
（1）考試要求
.掌握二次型及其矩陣表示，理解二次型秩的概念。
.掌握合同變換和合同矩陣的概念，理解二次型的標準形，規(guī)范形的概念，了解慣性定性及規(guī)范形的唯一性。
.掌握配方法和正交變換法化二次型為標準形的方法。
.掌握正定二次型和正定矩陣的概念及判別。
（2）知識點
線性替換，n元二次型，標準形，二次型的矩陣，規(guī)范形，慣性定理，正定二次型。
6. 線性空間
（1）考試要求
.掌握線性空間定義與性質。
.掌握線性空間的維數，基與坐標的概念和求法。
.理解基變換與坐標變換的概念，會求過渡矩陣。
.理解子空間的概念，掌握子空間的性質及生成的條件。
.掌握兩個子空間的交與和的概念及性質。
.了解線性空間的同構的概念。
（2）知識點
線性空間的定義與簡單性質，維數，基與坐標，基變換與坐標變換，線性子空間，子空間的交與和，線性空間的同構。
7. 線性變換
（1）考試要求
.理解線性變換的定義和運算。
.掌握線性變換的矩陣求法。
.掌握線性變換或矩陣的特征值與特征向量。
.掌握矩陣的相似對角化問題。
.理解線性變換的值域與核。
.掌握不變子空間的概念和證明方法。
（2）知識點
線性變換的定義，運算，矩陣，線性變換的值域，核，線性變換的矩陣在某組基下的矩陣是對角矩陣的條件，不變子空間。
8. -矩陣
（1）考試要求
.了解多項式矩陣與矩陣多項式的關系，-矩陣等價與矩陣相似的關系。
.掌握行列式因子、不變因子、初等因子的概念與計算。
.掌握行列式因子與標準型的對應，初等因子組與Jordan標準形的對應。
.掌握-矩陣可逆的定義與判別條件.會計算-矩陣的標準形，復系數矩陣的Jordan標準形。
（2）知識點
-矩陣的相關概念、等價以及判定；行列式因子、不變因子、初等因子的相關概念與應用；-矩陣的標準形與Jordan標準形。
9. 歐氏空間
（1）考試要求
.理解歐氏空間的定義及性質。
.理解標準正交基的定義及判別方法。
.理解子空間的定義和正交補的求法。
.掌握正交變換和對稱變換的判別條件。
（2）知識點
歐氏空間的概念，標準正交基，子空間，正交變換，對稱變換。
二、教材及其參考書
[1] 《高等代數》北京大學數學系幾何與代數教研室前代數小組編，王萼芳 石生明 修訂，高等教育出版社，出版年2003.
[2]《高等代數》王萼芳 編．高等教育出版社，出版年2009.
[3]《高等代數選講》，張同斌，萬建軍主編，合肥工業(yè)大學出版社，2009

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