吉首大學(xué)碩士研究生入學(xué)考試自命題考試大綱（同等學(xué)力加試科目）

考試科目名稱：泛函分析

一、試卷結(jié)構(gòu)

1) 試卷成績及考試時(shí)間

本試卷滿分為 100 分，考試時(shí)間為 120 分鐘。

2)答題方式：閉卷、筆試

3)試卷內(nèi)容結(jié)構(gòu)

泛函分析

100%

4)題型結(jié)構(gòu)

a: 判斷題， 20 分

b: 填空題， 20 分

c: 計(jì)算題， 10 分

d：證明題， 50 分

二、考試內(nèi)容與考試要求

1、距離空間和賦范線性空間

考試內(nèi)容

（1）距離空間：距離空間的概念，距離空間中的開集閉集，稠密性與可分

性，連續(xù)映射的概念，距離空間中的完備性，列緊集，緊集及其上連續(xù)映射，具

體空間列緊集的判定定理，壓縮映射原理及其應(yīng)用。

（2）賦范線性空間：線性空間、范數(shù)、賦范線性空間、Banach 空間等概念，

賦范線性空間上范數(shù)的等價(jià)性，常見的具體 Banach 空間及其常用的范數(shù)的定義。

考試要求（1）熟悉距離空間的概念和一些具體的距離空間；理解距離空間中的開集

閉集，稠密集與空間的可分性；熟練掌握連續(xù)映射的概念、距離空間中的完備性、

列緊集和緊集以及其上連續(xù)映射的性質(zhì)；掌握具體空間列緊集的判定法；熟練掌

握壓縮映射原理，并會(huì)用壓縮映射原理分析映射的不動(dòng)點(diǎn)。

（2）理解線性空間、范數(shù)、賦范線性空間等概念；掌握 Banach 空間、線性

賦范空間上范數(shù)的等價(jià)性；熟悉某些常見 Banach 空間中常用的范數(shù)的定義。

2、有界線性算子與連續(xù)線性泛函

考試內(nèi)容

有界線性算子和連續(xù)線性泛函的概念和其性質(zhì)，線性算子空間、共軛（對(duì)偶）

空間，某些常見 Banach 空間的共軛空間。

考試要求

掌握有界線性算子和連續(xù)線性泛函的概念和其性質(zhì)，并會(huì)計(jì)算界線性算子和

連續(xù)線性泛函的范數(shù)；理解線性算子的連續(xù)性和有界性，熟悉算子空間、共軛（對(duì)

偶）空間的基本性質(zhì)和某些常見 Banach 空間的共軛空間。

3、Hilbert 空間

考試內(nèi)容

內(nèi)積空間的基本概念與基本性質(zhì)、幾何特征、正交系、正規(guī)正交基、正交化，

Hilbert 空間的同構(gòu)，射影定理、Hilbert 空間上的 Riesz 表示定理。

考試要求

熟悉內(nèi)積空間的基本概念與基本性質(zhì)、幾何特征；熟練掌握正交系、正規(guī)正

交基、正交化、射影定理；理解 Hilbert 空間的同構(gòu)、Hilbert 空間上的 Riesz 表示

定理。

4、Banach 空間的基本定理

考試內(nèi)容

Hahn-Banach 延拓定理及其推論，Riesz 表示定理及應(yīng)用，共軛算子及其性質(zhì)，

第一、第二綱的集，綱定理，一致有界定理及應(yīng)用，開映射定理，閉圖象定理，

弱收斂和弱?收斂。

考試要求熟練掌握 Hahn-Banach 延拓定理的推論、Riesz 表示定理、一致有界定理及

應(yīng)用、開映射定理、閉圖象定理；掌握共軛算子及其性質(zhì)；理解 Hahn-Banach 延

拓定理、第一、第二綱的集；了解弱收斂和弱?收斂。

教材及主要參考書：

[1] 程其襄等，實(shí)變函數(shù)論與泛函分析基礎(chǔ)， 高等教育出版社。

[2] 夏道行等, 實(shí)變函數(shù)與泛函分析（下冊(cè)）,高等教育出版社。

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