2021吉首大學(xué)821高等代數(shù)研究生考試大綱

發(fā)布時間：2020-12-07 編輯：考研派小莉推薦訪問：

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2021吉首大學(xué)821高等代數(shù)研究生考試大綱正文

吉首大學(xué)碩士研究生入學(xué)考試自命題考試大綱

考試科目代碼：821

考試科目名稱：高等代數(shù)

一、試卷結(jié)構(gòu)

1) 試卷成績及考試時間

本試卷滿分為 150 分，考試時間為 180 分鐘。

2)答題方式：閉卷、筆試。

3)試卷內(nèi)容結(jié)構(gòu)

北京大學(xué)數(shù)學(xué)系所編的高等代數(shù)第一章至第七章及第九章。

4)題型結(jié)構(gòu)

a: 填空題，6 小題，每小題 5 分，共 30 分；

b: 計(jì)算題，4 小題，每小題 15 分，共 60 分；

c: 證明題，5 小題，每小題 12 分，共 60 分。

二、考試內(nèi)容與考試要求

1、多項(xiàng)式

考試內(nèi)容

數(shù)域，一元多項(xiàng)式，整除的概念，最大公因式，因式分解定理，重因式，多

項(xiàng)式函數(shù)，復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解，有理系數(shù)多項(xiàng)式。

考試要求

（1）掌握數(shù)域的定義，并會判斷一個代數(shù)系統(tǒng)是否是數(shù)域。

（2）正確理解數(shù)域 P 上一元多項(xiàng)式的定義，多項(xiàng)式相乘，次數(shù)，一元多項(xiàng)

式環(huán)等概念。掌握多項(xiàng)式的運(yùn)算及運(yùn)算律。

（3）正確理解整除的定義，熟練掌握帶余除法及整除的性質(zhì)。

（4）正確理解和掌握兩個（或若干個）多項(xiàng)式的最大公因式，互素等概念

及性質(zhì)。能用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個多項(xiàng)式的最大公因式。

（5）正確理解和掌握不可約多項(xiàng)式的定義及性質(zhì)。了解因式分解定理。（6）正確理解和掌握 k 重因式的定義。

（7）掌握多項(xiàng)式函數(shù)的概念，余數(shù)定理，多項(xiàng)式的根及性質(zhì)。正確理解多

項(xiàng)式與多項(xiàng)式函數(shù)的關(guān)系。

（8）理解代數(shù)基本定理。熟練掌握復(fù)（實(shí)）系數(shù)多項(xiàng)式分解定理及標(biāo)準(zhǔn)分

解式。

（9）正確理解和掌握本原多項(xiàng)式的定義及性質(zhì)。掌握整系數(shù)多項(xiàng)式的有理

根的計(jì)算。

2、行列式

考試內(nèi)容

排列，n 級行列式的定義，n 級行列式的性質(zhì)，n 級行列式的展開，行列式

的計(jì)算，克拉默(Cramer)法則。

考試要求

（1）理解并掌握排列、逆序、逆序數(shù)、奇偶排列的定義。掌握排列的奇偶

性與對換的關(guān)系。

（2）深刻理解和掌握 n 級行列式的定義，并能用定義計(jì)算一些特殊行列式。

（3）熟練掌握行列式的基本性質(zhì)。

（4）正確理解矩陣、矩陣的行列式、矩陣的初等變換等概念，能利用行列

式性質(zhì)計(jì)算一些簡單行列式。

（5）正確理解元素的余子式、代數(shù)余子式等概念。熟練掌握行列式按一行

（列）展開的公式。掌握計(jì)算行列式的基本方法與技巧。

（6）熟練掌握克拉默(Cramer)法則，

3、線性方程組

考試內(nèi)容

消元法，n 維向量空間，線性相關(guān)性，矩陣的秩，線性方程組有解判別定理，

線性方程組解的結(jié)構(gòu)。

考試要求

（1）正確理解和掌握一般線性方程組，方程組的解，增廣矩陣，線性方程

組的初等變換等概念及性質(zhì)。掌握階梯形方程組的特征及作用。會求線性方程組

的一般解。

（2）理解和掌握 n 維向量及兩個 n 維向量相等的定義。熟練掌握向量的運(yùn)

算規(guī)律和性質(zhì)。（3）正確理解和掌握線性組合、線性相關(guān)、線性無關(guān)的定義及性質(zhì)。掌握

兩個向量組等價的定義及等價性質(zhì)定理。深刻理解向量組的極大無關(guān)組、秩的定

義，并會求向量組的一個極大無關(guān)組。

（4）深刻理解和掌握矩陣的行秩、列秩，以及矩陣的秩的定義。掌握矩陣

的秩與其子式的關(guān)系。

（5）熟練掌握線性方程組的有解判別定理。理解和掌握線性方程組的公式解。

（6）正確理解和掌握齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系。了解解空間的概念。熟

練掌握基礎(chǔ)解系的求法、線性方程組的結(jié)構(gòu)定理。并對有解的一般線性方程組，

會求其全部解。

4、矩陣

考試內(nèi)容

矩陣的概念，矩陣的運(yùn)算，矩陣乘積的行列式與秩，矩陣的逆，矩陣的分塊，

初等矩陣，分塊乘法的初等變換及應(yīng)用。

考試要求

（1）掌握矩陣的的加法、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置等運(yùn)算及其計(jì)算規(guī)律。

（2）掌握矩陣乘積的行列式定理，矩陣乘積的秩與它的因子的秩的關(guān)系。

（3）正確理解和掌握可逆矩陣、逆矩陣、伴隨矩陣等概念，掌握一個 n 階

方陣可逆的充要條件和用公式法求一個矩陣的逆矩陣。

（4）理解分塊矩陣的意義，掌握分塊矩陣的加法、乘法的運(yùn)算及性質(zhì)。

（5）正確理解和掌握初等矩陣、初等變換等概念及它們之間的關(guān)系，熟練

掌握一個矩陣的等價標(biāo)準(zhǔn)形和矩陣可逆的充要條件；會用初等變換的方法求一個

方陣的逆矩陣。

（6）理解分塊乘法的初等變換，會求分塊矩陣的逆。

5、二次型

考試內(nèi)容

二次型的矩陣表示，標(biāo)準(zhǔn)型，唯一性，正定（半正定）二次型。

考試要求

（1）正確理解二次形和非退化線性替換的概念，掌握二次型的矩陣表示及

二次型與對稱矩陣的一一對應(yīng)關(guān)系，掌握矩陣的合同概念及性質(zhì)。（2）理解二次型的標(biāo)準(zhǔn)形，掌握化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的兩種基本方法。

（3）正確理解復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上二次型的規(guī)范性的唯一性，了解符號差、

慣性指數(shù)等概念，掌握慣性定理的證明思想。

（4）正確理解正定、半正定、負(fù)定二次型及正定、半正定矩陣等概念，熟

練掌握正定二次型（半正定二次型）的若干等價條件。

6、線性空間

考試內(nèi)容

集合、映射，線性空間的定義與簡單性質(zhì)，維數(shù)、基與坐標(biāo)，基變換與坐標(biāo)

變換，線性子空間，子空間的交與和，子空間的直和，線性空間的同構(gòu)。

考試要求

（1）正確理解和掌握線性空間的定義及性質(zhì)，會判斷一個代數(shù)系統(tǒng)是否為

線性空間。

（2）理解線性組合、線性表示、線性相關(guān)、線性無關(guān)等概念，正確理解和

掌握 n 維線性空間的概念及性質(zhì)。

（3）基變換與坐標(biāo)變換的關(guān)系。

（4）正解理解和掌握基之間的過渡矩陣及其性質(zhì)。

（5）正確理解線性子空間的定義及判別定理，掌握線性方程組的解空間的

概念和性質(zhì)，掌握向量組生成子空間的定義及等價條件。

（6）掌握子空間的交與和的定義及性質(zhì)，掌握維數(shù)公式并能熟練運(yùn)用。

（7）深刻理解子空間的直和的概念，以及判斷直和的若干充要條件。

7、線性變換

考試內(nèi)容

線性變換的定義，線性變換的運(yùn)算，線性變換的矩陣，特征值與特征向量，

對角矩陣，線性變換的值域與核，不變子空間，若爾當(dāng)(Jordan)標(biāo)準(zhǔn)形介紹，最

小多項(xiàng)式。

考試要求

（1）理解和掌握線性變換的定義及性質(zhì)。

（2）掌握線性變換的運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)律，理解線性變換的多項(xiàng)式。

（3）深刻理解和掌握線性變換與矩陣的聯(lián)系，掌握矩陣相似的概念和線性

變換在不同基下的矩陣相似等性質(zhì)。

（4）理解和掌握矩陣的特征值、特征向量、特征多項(xiàng)式的概念和性質(zhì)，會

求一個矩陣的特征值和特征向量，掌握相似矩陣與它們的特征多項(xiàng)式的關(guān)系及哈

密頓-凱萊定理。（5）掌握 n 維線性空間中一個線性變換在某一組基下的矩陣為對角矩陣的

充要條件。

（6）掌握線性變換的值域、核、秩、零度等概念，深刻理解和掌握線性變

換的值域與它對應(yīng)的矩陣的秩的關(guān)系及線性變換的秩和零度間的關(guān)系。

（7）掌握不變子空間的定義，會判定一個子空間是否是 A-子空間，深刻理

解不變子空間與線性變換矩陣化簡之間的關(guān)系，掌握將空間 V 按特征值分解成不

變子空間和直和表達(dá)式。

（8）了解若爾當(dāng)(Jordan)標(biāo)準(zhǔn)形及其相關(guān)性質(zhì)。

（9）掌握最小多項(xiàng)式的定義和基本性質(zhì)，會求任意 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的最

小多項(xiàng)式。

8、歐幾里德空間

考試內(nèi)容

定義與基本性質(zhì)，標(biāo)準(zhǔn)正交基，同構(gòu)，正交變換，子空間，實(shí)對稱矩陣的相

似標(biāo)準(zhǔn)形，向量到子空間的距離，最小二乘法。

考試要求

（1）深刻理解歐氏空間的定義及性質(zhì)，深刻理解內(nèi)積的本質(zhì)，掌握向量的

長度，兩個向量的夾角、單位向量、正交及度量矩陣等概念和基本性質(zhì)，掌握各

種概念之間的聯(lián)系和區(qū)別。

（2）正確理解正交向量組、標(biāo)準(zhǔn)正交基的概念，掌握施密特正交化過程，

并能把一組線性無關(guān)的向量化為單位正交的向量。

（3）正確理解和掌握正交變換的概念及幾個等價關(guān)系，掌握正交變換與向

量的長度，標(biāo)準(zhǔn)正交基，正交矩陣間的關(guān)系。

（4）正確理解和掌握兩個子空間正交的概念，掌握正交與直和的關(guān)系，及

有限維歐氏空間中的每一個子空間都有唯一的正交補(bǔ)的性質(zhì)。

（5）深刻理解并掌握任一個實(shí)對稱矩陣均可正交相似于一個對角陣，并掌

握求正交陣的方法。能用正交變換化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)型。

（6）正確計(jì)算向量之間的距離，了解最小二乘法原理。

三、參考書目

1、北京大學(xué)數(shù)學(xué)系編，高等代數(shù) (第三版)，高等教育出版社, 北京（2003）；

2、張禾瑞，郝炳新編，高等代數(shù) (第五版)，高等教育出版社，北京（2008）。

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