2021北京航空航天大學(xué)891數(shù)學(xué)專業(yè)綜合研究生考試大綱

發(fā)布時間：2020-12-18 編輯：考研派小莉 推薦訪問：
2021北京航空航天大學(xué)891數(shù)學(xué)專業(yè)綜合研究生考試大綱

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2021北京航空航天大學(xué)891數(shù)學(xué)專業(yè)綜合研究生考試大綱 正文

891 數(shù)學(xué)專業(yè)綜合課考試大綱
請考生注意：
1、數(shù)學(xué)專業(yè)綜合課試題含常微分方程、近世代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計三門課程的內(nèi)容，
考生可任選其中二門課程的試題解答，多選無效。
2、每門課試題滿分 75 分。
常微分方程考試大綱
一、基本內(nèi)容與要求
(一) 初等積分法
1、
熟練掌握變量可分離方程、可化為變量分離方程的類型、一階線性方程與常數(shù)變易法、
全微分方程與積分因子等的解法。掌握一階隱方程與參數(shù)表示。
2、 會應(yīng)用降階法解某些高階方程。
3、 會建立簡單的微分方程模型。
(二) 線性方程和線性方程組
1、 掌握線性微分方程(組)的一般理論.
2、 掌握常系數(shù)線性微分方程(組)的解法.
3、 能應(yīng)用線性方程(組)解的結(jié)構(gòu)對方程的解做簡單定性分析.
4、 了解二階線性方程的冪級數(shù)解法和 Laplace 方法。
5、 會應(yīng)用二階常系數(shù)線性方程分析振動現(xiàn)象。
6、會求二階微分方程組的奇點及其類型
(三) 基本定理
1、掌握初值問題的存在、唯一性定理和解的延拓及解關(guān)于初值的連續(xù)、可微性定理
2、掌握解的存在、唯一性定理及證明。
2
近世代數(shù)考試大綱
一、基本內(nèi)容與要求
(一)基本概念
1、理解集合與映射的概念，掌握集合之間的運算，能夠在集合之間建立映射關(guān)系，并判
斷兩個映射是否相同。
2、掌握代數(shù)運算與映射的關(guān)系，能夠建立有限集合之間的運算表，并判斷給定的運算是
否滿足結(jié)合律、交換律以及兩種分配律。
3、掌握同態(tài)映射、同構(gòu)映射和自同構(gòu)的概念，理解同態(tài)與同態(tài)滿射（滿同態(tài)）的關(guān)系，
并能判定映射是否是同態(tài)滿射（滿同態(tài)），掌握具有同態(tài)滿射（滿同態(tài)）的集合之間的聯(lián)系。能
夠判定給定的映射和運算是否是同構(gòu)關(guān)系，能建立兩個集合之間的同構(gòu)映射。
4、理解關(guān)系和等價關(guān)系的概念，掌握等價關(guān)系和分類之間的轉(zhuǎn)換定理，熟練判定給定的
關(guān)系是否是等價關(guān)系。并熟悉剩余類的基本特性，能夠建立整數(shù)間給定模的剩余類。
(二) 群論
1、掌握群的等價定義和例子，理解左、右單位元，左、右逆元的意義，掌握有限群、無
限群、群的階和交換群的概念。充分掌握單位元、逆元的存在性和唯一性，了解消去律的定義，
能熟練掌握群與階的關(guān)系，會計算群元素的階。
2、理解群同構(gòu)、同態(tài)的定義，掌握一個群的自同構(gòu)的集合也成群的證明，掌握群同態(tài)的
有關(guān)性質(zhì)，并能證明在同態(tài)滿射下，單位元的像也是單位元，元 a 的逆元的像是 a 的像的逆元。
3、掌握循環(huán)群的定義和由生成元決定循環(huán)群的性質(zhì)與特點，熟練掌握剩余類加群，并能
證明任一循環(huán)群可以與整數(shù)加群或模為 n 的剩余類加群同構(gòu)。以及與循環(huán)群同態(tài)的群的性質(zhì)。
4、熟練掌握變換的符號的運用和變換的乘法，能證明可以成群的變換只包含一一變換，
且單位元一定是恒等變換。了解變換群的定義和性質(zhì)。掌握任何一個群都同一個變換群同構(gòu)的
定理的證明。掌握元素求逆等運算。
5、理解置換與置換群的定義與性質(zhì)，掌握每一個 n 元置換都可以寫成若干個互相沒有共
同數(shù)字（不相連）的循環(huán)置換（輪換）的乘積的證明與運用。理解有限群與置換群的同構(gòu)關(guān)系。
6、掌握子群的定義，掌握群的子集成群的充分而且必要的條件與判定定理，并能掌握找
出已知群的子群的一般方法，了解群與子群中的單位元與逆元的關(guān)系，以及子群與子群之間的
關(guān)系。
7、掌握陪集的定義，以及與等價關(guān)系和分類之間的關(guān)系，了解子群與陪集之間的關(guān)系，
并能證明有限群的階能被元的階整除的定理，以及階為素數(shù)的群一定為循環(huán)群的證明。
8、 掌握不變子群（正規(guī)子群）的定義，能掌握一個群的子群是不變子群（正規(guī)子群）的
充分必要條件的定理，理解商群的定義，能證明一個群同它的每一個商群同態(tài)的定理，了解核
的定義，掌握兩個具有同態(tài)關(guān)系的群之間子群或不變子群（正規(guī)子群）的象的性質(zhì)。并能將子3
群或不變子群（正規(guī)子群）的性質(zhì)運用到循環(huán)群、變換群等群之中。
9、掌握 sylow 定理的應(yīng)用。
(三) 環(huán)與域
1、理解交換環(huán)的定義和例子，熟悉單位元、逆元和零因子的性質(zhì)并能熟練運用。掌握消
去律與零因子的關(guān)系。
2、了解除環(huán)的定義，能舉出域的例子，除環(huán)與加群、乘群的關(guān)系。熟悉無零因子環(huán)中的
計算規(guī)則，掌握無零因子環(huán)中特征的性質(zhì)
3、理解子環(huán)、子除環(huán)的定義，并能寫出子整環(huán)、子域的概念，了解同態(tài)、同構(gòu)環(huán)之間的
性質(zhì)，了解多項式成環(huán)，熟悉多項式環(huán)中的未定元、次數(shù)以及系數(shù)、無關(guān)未定元的作用。
4、掌握理想的定義，理解理想的構(gòu)成，以及零理想、單位理想和主理想的構(gòu)成，能判斷
一個子環(huán)是否為理想，和理想是否為主理想。了解什么是最大理想，且和剩余類環(huán)的關(guān)聯(lián)。
5、 掌握沒有零因子的交換環(huán)一定是一個域的子環(huán)，了解商域的構(gòu)成，并掌握同構(gòu)的環(huán)的
商域也同構(gòu)的定理。理解主理想環(huán)的概念和引理，能證明主理想環(huán)是唯一分解環(huán)。
6、理解歐氏環(huán)的定義，理解歐氏環(huán)、整數(shù)環(huán)都是主理想環(huán)與唯一分解環(huán)的證明，并能證明
域一定是一個歐氏環(huán)。
4
概率論與數(shù)理統(tǒng)計考試大綱
一、基本內(nèi)容與要求
(一) 概率論
1、理解隨機事件和樣本空間的概念，掌握事件之間的關(guān)系與運算；理解并熟練掌握概率的
古典定義；理解幾何概率，概率的統(tǒng)計定義及公理化定義；熟練掌握概率的基本性質(zhì)，會用于
計算；理解并掌握條件概率的定義，事件獨立性。熟練掌握乘法公式、全概率公式與貝葉斯公
式及其應(yīng)用；熟練掌握 Bernoulli 概型。
2、理解隨機變量的概念；理解并熟練掌握分布函數(shù)、分布律、概率密度等概念及其性質(zhì)，
掌握分布函數(shù)與分布律，分布函數(shù)與概率密度之間的關(guān)系；掌握二項分布、Poisson 分布、均
勻分布、指數(shù)分布，熟練掌握正態(tài)分布，會查標準正態(tài)分布表；熟練掌握隨機變量函數(shù)分布的
求法。
3、熟練掌握隨機變量的數(shù)學(xué)期望、方差及其求法。掌握特征函數(shù)的定義及性質(zhì)，特征函數(shù)
與期望和方差之間的關(guān)系，理解反演公式和唯一性定理。
4、理解二維隨機變量及其分布的定義，會求邊緣分布，掌握隨機變量的獨立性；掌握二維
隨機變量期望、方差、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)及其性質(zhì)；理解條件分布和條件數(shù)學(xué)期望；會求二維
隨機變量函數(shù)的分布；理解二維隨機變量特征函數(shù)及其性質(zhì)；了解三維及三維以上隨機變量的
定義和分布； 掌握 n 維正態(tài)分布定義及性質(zhì)，χ2-分布、t-分布和 F-分布。
5、理解大數(shù)定律和中心極限定理的統(tǒng)計背景，意義及其應(yīng)用，了解依概率 1 收斂，依概率
收斂及依分布收斂的意義和相互關(guān)系。
(二) 數(shù)理統(tǒng)計
1、掌握數(shù)理統(tǒng)計的基本概念；熟練掌握矩估計法和極大似然估計法；熟練掌握無偏估計、
有效估計和相合估計；熟練掌握區(qū)間估計定義及其意義。
2、充分理解和掌握 Neyman-Pearson 假設(shè)檢驗的基本思想和方法；熟練掌握正態(tài)總體參數(shù)假
設(shè)檢驗方法。
北京航空航天大學(xué)

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