2022中國地質(zhì)大學(xué)(武漢)解析幾何與高等代數(shù)研究生考研大綱及參考書目 正文

碩士研究生入學(xué)《解析幾何與高等代數(shù)》考試大綱

第一部分  考試說明
一、考試性質(zhì)
空間解析幾何與高等代數(shù)是為全國碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)系各專業(yè)設(shè)置的課程，它的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)是高等學(xué)校優(yōu)秀本科畢業(yè)生能達(dá)到及格及以上水平。
二、考試范圍
多項(xiàng)式理論、行列式、線性方程組、矩陣、二次型、線性空間、線性變換、歐氏空間、以及平面與空間直線、空間曲線與二次曲面
三、考試形式與試卷結(jié)構(gòu)
（一）答卷方式：閉卷，筆試；所列題目全部為必答題。
（二）答題時(shí)間：180分鐘。
（三）各部分的考查比例：
高等代數(shù)部分約80％
空間解析幾何部分約20％
（四）題型類型
填空題、選擇題、計(jì)算題和證明題

第二部分  考查要點(diǎn)
一、多項(xiàng)式理論
理解數(shù)域P上一元多項(xiàng)式的定義、多項(xiàng)式相乘、次數(shù)、一元多項(xiàng)式環(huán)等概念，整除的定義，兩個(gè)（或若干個(gè)）多項(xiàng)式的最大公因式，互素等概念及性質(zhì)，不可約多項(xiàng)式的定義及性質(zhì)，多項(xiàng)式與多項(xiàng)式函數(shù)的關(guān)系，代數(shù)基本定理，有理系數(shù)多項(xiàng)式的分解與整系數(shù)多項(xiàng)式分解的關(guān)系，多元多項(xiàng)式、對(duì)稱多項(xiàng)式的定義。
能判斷一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)是否是數(shù)域，掌握多項(xiàng)式的運(yùn)算及運(yùn)算律，能用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式，理解不可約多項(xiàng)式的定義及性質(zhì)，標(biāo)準(zhǔn)分解式，k重因式，多項(xiàng)式函數(shù)的概念、余數(shù)定理、多項(xiàng)式的根及性質(zhì)，對(duì)稱多項(xiàng)式基本定理。
了解帶余除法及整除的性質(zhì)，因式分解及唯一性定理，復(fù)（實(shí)）系數(shù)多項(xiàng)式分解定理及標(biāo)準(zhǔn)分解式，本原多項(xiàng)式的定義、高斯（Gauss）引理、整系數(shù)多項(xiàng)式的有理根的性質(zhì)、愛森斯坦（Eisenstein）判別法。
二、行列式
1、理解行列式的概念，掌握行列式的性質(zhì)、拉普拉斯（Laplace）定理及行列式的乘法法則。
2、會(huì)應(yīng)用行列式概念和基本性質(zhì)計(jì)算行列式，能夠熟練掌握行列式按行（列）展開定理，能夠運(yùn)用遞推公式計(jì)算一些經(jīng)典類型的行列式。
三、線性方程組
1、理解n維向量、向量的線性組合與線性表示等概念。
2、理解向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的定義、熟練掌握判斷向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的方法。
3、理解向量組的極大線性無關(guān)組和向量組的秩的概念，會(huì)求向量組的極大線性無關(guān)組及秩。
4、理解向量組等價(jià)的概念、清楚向量組的秩與矩陣秩的關(guān)系。
5、會(huì)用克萊姆（Cramer）法則求解線性方程組。
6、掌握齊次線性方程組有非零解的充分必要條件，及非齊次線性方程組有解的充分必要條件。
7、熟練掌握齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系、通解及解空間的概念，掌握齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解的求法。
8、理解非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)及通解的概念。
9、掌握用初等行變換求解線性方程組的方法。
四、矩陣
1、理解矩陣的概念，了解單位矩陣、數(shù)量矩陣、對(duì)角矩陣、三角矩陣、對(duì)稱矩陣和反對(duì)稱矩陣，熟悉它們的基本性質(zhì)。
2、掌握矩陣的數(shù)乘、加法、乘法、轉(zhuǎn)置等運(yùn)算。了解方陣的多項(xiàng)式概念。
3、理解逆矩陣的概念，掌握可逆矩陣的性質(zhì)，以及矩陣可逆的判別條件，理解伴隨矩陣的概念，會(huì)用伴隨矩陣求逆矩陣。
4、掌握矩陣的初等變換、初等矩陣的性質(zhì)和矩陣等價(jià)的條件，理解矩陣的秩的概念，了解矩陣的秩與行列式的關(guān)系。了解矩陣乘積的秩與因子矩陣的秩的關(guān)系，了解n階方陣非退化的概念及充分必要條件，熟練掌握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法。
5、熟悉分塊矩陣及其運(yùn)算。
五、二次型
1、掌握二次型及其矩陣表示，理解非退化線性替換與矩陣合同的概念及性質(zhì)，清楚二次型的非退化線性替換與二次型矩陣合同的關(guān)系。
2、熟練掌握二次型的標(biāo)準(zhǔn)形、秩、規(guī)范形的概念以及慣性定理，理解復(fù)對(duì)稱矩陣合同的充分必要條件。
3、會(huì)用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。
4、掌握二次型及實(shí)對(duì)稱矩陣正定的概念及性質(zhì)，掌握二次型及實(shí)對(duì)稱矩陣正定的判別法。
六、線性空間
1、熟悉集合與映射的概念。
2、理解線性空間的概念掌握線性子空間的判定方法。
3、掌握線性空間的維數(shù)、基和坐標(biāo)等基本概念和性質(zhì)。
4、掌握線性空間的基變換公式和坐標(biāo)變換與過渡矩陣的關(guān)系。
5、理解生成子空間的概念，掌握求子空間基和維數(shù)的方法。
6、掌握子空間的交、和、直積運(yùn)算及其性質(zhì)。
七、線性變換
1、掌握線性變換的概念、基本性質(zhì)及運(yùn)算。
2、理解線性變換的矩陣，了解線性變換與矩陣的對(duì)應(yīng)關(guān)系。
3、掌握線性變換及其矩陣的特征值、特征向量、特征多項(xiàng)式的概念及性質(zhì)，能夠熟練地求解線性變換及矩陣的特征值和特征向量。
4、了解關(guān)于特征多項(xiàng)式的哈密爾頓-凱萊（Hamilton-Caylay）定理，了解矩陣的跡。
5、把握線性變換的特征子空間、線性變換的不變子空間的概念。
6、掌握矩陣相似的概念、性質(zhì)及矩陣可對(duì)角化的充分必要條件。熟悉將矩陣化為對(duì)角矩陣的方法。
7、理解線性變換的值域、核、秩、零度的概念。
8、了解矩陣的若當(dāng)（Jordan）標(biāo)準(zhǔn)型。
八、歐氏空間
1、掌握線性空間內(nèi)積、向量的正交、歐幾里德空間等基本概念及性質(zhì)。
2、理解正交變換和正交矩陣的關(guān)系，歐幾里德空間中過渡矩陣的特殊性。
3、理解和掌握標(biāo)準(zhǔn)（規(guī)范）正交基的概念，掌握標(biāo)準(zhǔn)（規(guī)范）正交基的求法（施密特（Schimidt）正交化過程），了解標(biāo)準(zhǔn)正交基下度量矩陣、向量坐標(biāo)及內(nèi)積的特殊表達(dá)。
4、掌握正交矩陣的概念及性質(zhì)，了解正交矩陣與標(biāo)準(zhǔn)正交基的過渡矩陣之間的關(guān)系。
5、理解和掌握正交變換的概念及其性質(zhì)，了解正交變換和正交矩陣之間的關(guān)系。
6、理解正交子空間、正交補(bǔ)的概念及性質(zhì)。
7、熟練掌握對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量的特殊性質(zhì)，對(duì)給定的實(shí)對(duì)稱矩陣A會(huì)求正交矩陣T使T′AT成為對(duì)角矩陣。
九、平面與空間直線
1、熟練掌握向量代數(shù)中的各種運(yùn)算。
2、熟練掌握平面與空間直線方程的各種形式，能根據(jù)已知條件建立平面與空間直線的方程
3、熟悉判定點(diǎn)與平面、空間兩直線、直線與平面的位置關(guān)系
4、熟練計(jì)算兩直線 、直線與平面、兩平面間的交角、兩異面直線的距離及公垂線方程。
十、空間曲線與二次曲面
1、要求考生熟練掌握曲面與曲線的定義，空間曲線的投影與投影柱面。 
2、掌握常見的二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程、形狀、作圖及單葉雙曲面、雙曲拋物面的直母線方程及其性質(zhì)。
3、掌握直線與一般二次曲線相交，并對(duì)一般二次曲線進(jìn)行理論研究的方法，根據(jù)二次曲線標(biāo)準(zhǔn)方程將二次曲線分類，從而使二次曲線的幾何理論與代數(shù)理論自然聯(lián)系在一起，達(dá)到用代數(shù)方法研究幾何理論的目的。

中國地質(zhì)大學(xué)(武漢)

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