601高等數(shù)學(xué)

    學(xué)科/類別名稱及代碼學(xué)科/類別所在學(xué)院

    070200物理學(xué)理學(xué)院

    一、總體要求

    高等數(shù)學(xué)是高等學(xué)校理工科各專業(yè)學(xué)生的一門重要的通識(shí)性必修基礎(chǔ)課。該課程的考試主要測(cè)試考生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，要求考生系統(tǒng)地理解高等數(shù)學(xué)的基本概念和基本理論，掌握高等數(shù)學(xué)的基本方法。要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)分析問題和解決問題的能力?？荚噧?nèi)容包括的知識(shí)點(diǎn)有：函數(shù)、極限與連續(xù)、一元函數(shù)微分學(xué)、一元函數(shù)積分學(xué)、向量代數(shù)和空間解析幾何、多元函數(shù)微分學(xué)、多元函數(shù)積分學(xué)、無窮級(jí)數(shù)、常微分方程。

    二、內(nèi)容及比例

    1.函數(shù)、極限與連續(xù)：10%

    （1）函數(shù)

    函數(shù)的概念及表示法；函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性；復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù)；基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。

    （2）極限

    數(shù)列極限與函數(shù)極限的概念；函數(shù)左極限與右極限的概念，以及函數(shù)極限存在與左、右極限之間的關(guān)系；極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則，會(huì)運(yùn)用它們進(jìn)行一些基本的判斷和計(jì)算；極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，并會(huì)利用它們求極限；利用兩個(gè)重要極限求極限的方法；無窮小、無窮大與無窮小的比較，會(huì)用等價(jià)無窮小求極限。

    （3）連續(xù)

    函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)）；會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型；連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性；閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小

    值定理、介值定理等），并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)。

    2.一元函數(shù)微分學(xué)：15%

    （1）導(dǎo)數(shù)

    導(dǎo)數(shù)的概念；導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義；函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系；平面曲線的切線和法線；基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算；復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求法；參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)方法；高階導(dǎo)數(shù)的概念和高階導(dǎo)數(shù)的求法。

    （2）微分

    微分的概念；微分的運(yùn)算法則及函數(shù)微分的求法；一階微分形式的不變性。

    （3）微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

    羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒公式；洛必達(dá)（L’Hospital）法則；函數(shù)單調(diào)性；函數(shù)的極值、函數(shù)最大值和最小值；函數(shù)圖形的凹凸性、拐點(diǎn)；弧微分及曲率的計(jì)算。

    3.一元函數(shù)積分學(xué)：15%

    （1）不定積分

    原函數(shù)與不定積分和定積分的概念；不定積分的換元積分法與分部積分法；有理函數(shù)、三角函數(shù)的有理式和簡單無理函數(shù)的積分。

    （2）定積分

    定積分的概念和基本性質(zhì)；定積分中值定理；變上限定積分定義的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)；牛頓－萊布尼茨（Newton－Leibniz）公式；定積分的換元積分法與分部積分法；廣義積分（無窮限積分、瑕積分）。

    （3）定積分的應(yīng)用

    用定積分表達(dá)和計(jì)算一些物理量功、引力、壓力；用定積分計(jì)算平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積、截面面積為已知的立體體積。

    4.向量代數(shù)和空間解析幾何：5%

    （1）向量代數(shù)

    向量的概念；向量的線性運(yùn)算；向量的數(shù)量積、向量積和混合積；兩向量垂直、平行的條件；兩向量的夾角；向量的坐標(biāo)表達(dá)式及其運(yùn)算；單位向量；方向數(shù)與方向余弦。

    （2）空間解析幾何

    曲面方程和空間曲線方程的概念；平面方程、直線方程；平面與平面、平面與直線、直線與直線的夾角以及平行、垂直的條件；點(diǎn)到平面和點(diǎn)到直線的距離；球面；母線平行于坐標(biāo)軸的柱面；旋轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)曲面的方程；常用的二次曲面方程及其圖形；空間曲線的參數(shù)方程和一般方程；空間曲線在坐標(biāo)面上的投影曲線方程。

    5.多元函數(shù)微分學(xué)：10%

    （1）多元函數(shù)

    多元函數(shù)的概念；二元函數(shù)的極限和連續(xù)；有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

    （2）偏導(dǎo)數(shù)、全微分和方向?qū)?shù)

    多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念及求法；全微分存在的必要條件和充分條件；多元復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法；高階偏導(dǎo)數(shù)的求法；方向?qū)?shù)與梯度的概念及其計(jì)算方法。

    （3）多元微分法的應(yīng)用

    空間曲線的切線和法平面；曲面的切平面和法線；多元函數(shù)的極值和條件極值；拉格朗日乘數(shù)法；多元函數(shù)的最大值、最小值及其簡單應(yīng)用。

    6.多元函數(shù)積分學(xué)：15%

    （1）重積分

    二重積分、三重積分的概念與性質(zhì)；二重積分的計(jì)算方法（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)），三重積分的計(jì)算方法（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)）。

    （2）曲線積分

    兩類曲線積分的概念；兩類曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關(guān)系；兩類曲線積分的計(jì)算方法；格林公式與利用它求曲線積分；平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件；全微分的原函數(shù)。

    （3）曲面積分

    兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算；兩類曲面積分之間的關(guān)系；高斯（Gauss）公式；斯托克斯（Stokes）公式；散度、旋度的概念及計(jì)算。

    7.無窮級(jí)數(shù)：15%

    （1）常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

    常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其收斂與發(fā)散的概念；收斂級(jí)數(shù)的和的概念；級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件；幾何級(jí)數(shù)與p級(jí)數(shù)及其收斂性；正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判別法；交錯(cuò)級(jí)數(shù)與萊布尼茨定理；任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂。

    （2）函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

    函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域、和函數(shù)的概念；冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間（指開區(qū)間）和收斂域；冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)；簡單冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的求法；泰勒級(jí)數(shù)；初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式；函數(shù)的傅里葉（Fourier）系數(shù)與傅里葉級(jí)數(shù)；狄利克雷（Dirichlet）定理；函數(shù)在[-l，l]上的傅里葉級(jí)數(shù)；函數(shù)在[0，l]上的正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)。

    8.常微分方程：15%

    （1）一階微分方程

    常微分方程的基本概念；變量可分離的微分方程；齊次微分方程；一階線性微分方程；伯努利（Bernoulli）方程；全微分方程；可用簡單的變量代換求解的某些微分方程。

    （2）高階微分方程

    用降階法解下列方程：y(n)=f(x)，y″=f(x，y′)和y″=f(y，y′)；線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理；二階非齊次線性微分方程的常數(shù)變易法；二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法；自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程。

    三、題型及分值比例

    1.選擇題：40％

    2.填空題：20％

    3.計(jì)算題：30％

    4.證明題：10％

    四、參閱書目

    同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編：《高等數(shù)學(xué)》，高等教育出版社，2007年4月第6版。

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