2022年西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院碩士研究生考試科目《數(shù)學(xué)綜合》考試大綱及參考書(shū)目 正文

數(shù)學(xué)綜合考試（近世代數(shù)、泛函分析、常微分方程、解析幾何）科目大綱
(科目代碼：945)
 本門(mén)考試包含四門(mén)課程：近世代數(shù)、泛函分析、常微分方程、解析幾何，總分為100分，其中近世代數(shù)和泛函分析分別占20分到25分，解析幾何及常微分方程分別占25到30分。

近世代數(shù)
    第一章  基本概念
    考試要點(diǎn)：
    要讓學(xué)生掌握一些基本概念：代數(shù)運(yùn)算、結(jié)合律、交換律、分配律、同態(tài)與同構(gòu)、等價(jià)關(guān)系與集合分類(lèi)的定義；理解結(jié)合律、交換律、分配律的作用以及同態(tài)滿(mǎn)射保持結(jié)合律、交換律、分配律這些數(shù)學(xué)事實(shí)；熟練應(yīng)用等價(jià)關(guān)系與集合分類(lèi)可以相互決定這一結(jié)論。
    考試內(nèi)容：
    第一節(jié)  代數(shù)運(yùn)算與算律 
    主要講授代數(shù)運(yùn)算的定義及例子，結(jié)合律及其性質(zhì)，交換律及其性質(zhì)，分配律及其性質(zhì)等。
    第二節(jié)  同態(tài)與同構(gòu)
    主要介紹兩個(gè)帶有代數(shù)運(yùn)算的集合之間的保持代數(shù)運(yùn)算的映射、滿(mǎn)射及雙射以及它們各自的性質(zhì)。
    第三節(jié)  等價(jià)關(guān)系與集合分類(lèi)
    主要介紹等價(jià)關(guān)系與集合分類(lèi)這兩個(gè)概念以及等價(jià)關(guān)系與集合分類(lèi)這二者之間的關(guān)系。   
    考核要求：
    要讓學(xué)生識(shí)記代數(shù)運(yùn)算、結(jié)合律、交換律、分配律、同態(tài)與同構(gòu)、等價(jià)關(guān)系與集合分類(lèi)的定義；領(lǐng)會(huì)結(jié)合律、交換律、分配律的作用；領(lǐng)會(huì)同態(tài)滿(mǎn)射保持結(jié)合律、交換律、分配律，等價(jià)關(guān)系與集合分類(lèi)可以相互決定這些數(shù)學(xué)事實(shí)。
    第二章  群論
    考試要點(diǎn)：
    要讓學(xué)生掌握有關(guān)群的一些基本概念：群、變換群、置換群、循環(huán)群、子群、陪集、不變子群、商群；判斷群、子群、不變子群、商群的方法；理解群論的一些重要結(jié)論：Cayley 定理、Lagrange定理、群的同態(tài)基本定理。
    考試內(nèi)容：
    第一節(jié)  群的定義與基本性質(zhì) 
    介紹群的兩種定義的等價(jià)性。對(duì)有限群給出第三種定義。介紹群的消去律、以及群中的元的階的性質(zhì)。介紹群的同態(tài)。
    第二節(jié)  變換群
    介紹變換的概念；給出變換群的定義；介紹一個(gè)集合的最大變換群、最小變換群；介紹Cayley定理。
    第三節(jié)  置換群 
介紹n次對(duì)稱(chēng)群Sn的概念；介紹Sn中的每個(gè)置換都可以表成互相沒(méi)有共同數(shù)字的循環(huán)置換的乘積這一重要結(jié)論。
第四節(jié)  循環(huán)群
介紹循環(huán)群及其生成元的概念；介紹與循環(huán)群的存在問(wèn)題、數(shù)量問(wèn)題、結(jié)構(gòu)問(wèn)題有關(guān)的結(jié)論。
第五節(jié)  子群
介紹子群的定義以及判斷方法、群的子集生成的子群的特點(diǎn)。
第六節(jié)  子群的陪集
定義左同余關(guān)系以及右同余關(guān)系；確定這兩個(gè)同余關(guān)系的等價(jià)類(lèi)，得出一個(gè)群G的子群H在G中的左、右陪集的數(shù)目相等這一重要結(jié)論。介紹Lagrange定理。
第七節(jié)  不變子群、商群 
介紹不變子群的定義，給出判斷一個(gè)子群是不變子群的方法。介紹商群。
第八節(jié)  同態(tài)與不變子群
介紹子群、不變子群與群的同態(tài)之間的關(guān)系。
    考核要求：
    學(xué)生必須識(shí)記并領(lǐng)會(huì)有關(guān)群的一些基本概念；會(huì)利用所學(xué)知識(shí)判斷群、子群、不變子群、商群；學(xué)生必須有嚴(yán)格的思維能力以及邏輯推理能力；可以綜合應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)去解決簡(jiǎn)單群論問(wèn)題,例如較小階群的分類(lèi)問(wèn)題等。
第三章  環(huán)與域
    考試要點(diǎn)：
    要讓學(xué)生掌握有關(guān)環(huán)與域的一些基本概念：環(huán)、交換環(huán)、有單位元環(huán)、無(wú)零因子環(huán)、整環(huán)、除環(huán)、域、子環(huán)、子除環(huán)、子整環(huán)、子域、環(huán)的同態(tài)、理想、零理想、單位理想、主理想、環(huán)中多個(gè)元生成的理想、剩余類(lèi)環(huán)、極大理想；理解環(huán)論的一些重要結(jié)論：不定元存在定理、環(huán)的同態(tài)基本定理、剩余類(lèi)環(huán)是域的充要條件等。
    考試內(nèi)容：
    第一節(jié)  定義與基本性質(zhì) 
    介紹加群、環(huán)、交換環(huán)、有單位元環(huán)、無(wú)零因子環(huán)、整環(huán)、除環(huán)、域等基本概念；無(wú)零因子環(huán)中環(huán)的消去律才成立；介紹無(wú)零因子環(huán)的特征的概念；介紹無(wú)零因子環(huán)的特征是有限數(shù)時(shí)，特征是素?cái)?shù)這一結(jié)論。
    第二節(jié)  子環(huán)、環(huán)的同態(tài)
    介紹子環(huán)、子除環(huán)、子整環(huán)、子域、環(huán)的同態(tài)等概念；探討與環(huán)的同態(tài)有關(guān)的環(huán)的性質(zhì)；介紹挖補(bǔ)定理。
    第三節(jié)  多項(xiàng)式環(huán)
介紹含單位元的交換環(huán)R上的多項(xiàng)式、R上的多項(xiàng)式環(huán)以及R上的未定元等概念；給出R上的未定元是存在的這一重要結(jié)論。
第四節(jié)  理想
介紹環(huán)的理想、零理想、單位理想、主理想、環(huán)中多個(gè)元生成的理想等概念；介紹環(huán)的主理想中的元素的特點(diǎn)；給出除環(huán)只有零理想和單位理想這一重要結(jié)論。
第五節(jié)  剩余類(lèi)環(huán)、同態(tài)與理想
類(lèi)比于群論中的商群，在環(huán)論中有商環(huán)（也叫剩余類(lèi)環(huán)）。給出商環(huán)的概念之后，介紹環(huán)的同態(tài)基本定理；介紹子環(huán)、理想與環(huán)的同態(tài)之間的關(guān)系。
第六節(jié)  極大理想
給出極大理想的定義；介紹判斷一個(gè)理想是極大理想的方法，探討如何利用極大理想去構(gòu)造域。
第七節(jié)  商域 
類(lèi)比于整數(shù)環(huán)與有理數(shù)域之間的關(guān)系，介紹一個(gè)環(huán)的商域的概念，并給出一個(gè)無(wú)零因子的交換環(huán)的商域的存在性與唯一性定理。
    考核要求：
學(xué)生必須識(shí)記并領(lǐng)會(huì)有關(guān)環(huán)的若干基本概念；會(huì)利用所學(xué)知識(shí)判斷環(huán)、子環(huán)、子除環(huán)、理想、極大理想、商環(huán)等；可以綜合應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)去解決簡(jiǎn)單環(huán)論問(wèn)題。

第四章  整環(huán)里的因子分解
    考試要點(diǎn)：
    要讓學(xué)生掌握一些基本概念：不可約元、唯一分解、主理想環(huán)、歐氏環(huán)；理解關(guān)于整環(huán)里的因子分解的一些重要結(jié)論：一個(gè)整環(huán)是唯一分解環(huán)的充要條件；主理想環(huán)是唯一分解環(huán)、歐氏環(huán)是唯一分解環(huán)等。
    考試內(nèi)容：
    第一節(jié)  不可約元、唯一分解
    給出整環(huán)中元素整除的定義；介紹平凡因子、不可約元、唯一分解、唯一分解環(huán)等概念；舉例說(shuō)明，存在不是唯一分解環(huán)的整環(huán)。
    第二節(jié)  唯一分解環(huán)
    介紹一個(gè)整環(huán)是唯一分解環(huán)的充要條件；介紹唯一分解環(huán)中與最大公因子的存在問(wèn)題、數(shù)量問(wèn)題有關(guān)的結(jié)論。
    第三節(jié)  主理想環(huán)
介紹主理想環(huán)，并給出主理想環(huán)是唯一分解環(huán)這一重要結(jié)論。
第四節(jié)  歐氏環(huán)
介紹歐氏環(huán)，并給出歐氏環(huán)是唯一分解環(huán)這一重要結(jié)論。
    考核要求：
    學(xué)生必須識(shí)記并領(lǐng)會(huì)有關(guān)整環(huán)里的因子分解的若干基本概念；會(huì)利用所學(xué)知識(shí)判斷較簡(jiǎn)單的整環(huán)是否為唯一分解環(huán)；可以綜合應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)去解決一些簡(jiǎn)單的關(guān)于整環(huán)的因子分解的問(wèn)題。
    三、參考書(shū)目
    1、張禾瑞，《近世代數(shù)基礎(chǔ)》，高等教育出版社，1978年5月修訂第1版。
    2、吳品三，《近世代數(shù)》，高等教育出版社，1979年12月第1版。
3、劉紹學(xué)，《近世代數(shù)基礎(chǔ)》，高等教育出版社，1999年10月第1版。
4、楊永保，《近世代數(shù)》，西北師范大學(xué)油印本，2000

   常微分方程
第一章初等積分法
考試要點(diǎn)
準(zhǔn)確理解微分方程的一些最基本的概念；按如下兩條主線掌握一階方程的初等積分法：變量分離方程和通過(guò)變換可化為變量分離方程的方程，全微分方程和通過(guò)積分因子法或分項(xiàng)組合法可化為全微分方程的方程；掌握隱式微分方程的微分消參法和可降階的高階微分方程的解法。
考試內(nèi)容
第一節(jié)微分方程與解 
基本概念：微分方程、階、解與積分（通解與通積分，特解與積分）、定解問(wèn)題，通過(guò)單擺方程和人口模型等介紹微分方程的背景和建立微分方程求解應(yīng)用問(wèn)題的基本方法。
第二節(jié)變量可分離方程 
第三節(jié)變量分離法。
第四節(jié)齊次方程 
    齊次方程和一些齊次方程的變形的解法。
第五節(jié)一階線性方程
    一階線性方程的解法—常數(shù)變易法與Bernoulli方程的解法；通過(guò)解的一般表達(dá)式討論解的性質(zhì)。
第六節(jié)全微分方程及積分因子
    全微分方程的解法和積分因子法、分項(xiàng)組合法。
第七節(jié)線素場(chǎng)  歐拉折線 
    一階微分方程的幾何解釋和歐拉折線法。
第八節(jié)一階隱式微分方程
一階隱式微分方程的微分消參法，特別是Clairaut方程的解法、奇解與包絡(luò)。
第九節(jié)一階微分方程應(yīng)用舉例
     簡(jiǎn)介
第十節(jié)幾種可降階的高階方程 
    幾種可降階的高階微分方程的解法。
考核要求
掌握微分方程的基本概念--微分方程、階、解與積分（通解與通積分，特解與積分）等；掌握變量分離方程和通過(guò)變換可化為變量分離方程的方程、全微分方程和通過(guò)積分因子法或分項(xiàng)組合法可化為全微分方程的一階微分方程的解法；掌握隱式微分方程的微分消參法和可降階的高階微分方程的解法；能夠通過(guò)解的一般表達(dá)式討論解的性質(zhì)，理解和應(yīng)用奇解概念；通過(guò)建立微分方程求解一些應(yīng)用問(wèn)題。

第二章基本定理
教學(xué)要點(diǎn)
解的存在唯一性定理、延拓定理、解對(duì)初值的連續(xù)依賴(lài)性和可微性定理以及所涉及概念的準(zhǔn)確理解，解的存在唯一性定理的詳細(xì)證明。
教學(xué)內(nèi)容
第一節(jié)  解的存在性與唯一性定理 
    引進(jìn)并詳細(xì)證明解的存在唯一性定理；依據(jù)具體例子對(duì)定理的條件做詳細(xì)說(shuō)明。
第二節(jié)  解的延展 
    介紹并證明解的延展定理，示例說(shuō)明該定理的條件；介紹第一比較定理。
第三節(jié)  解對(duì)初值的連續(xù)依賴(lài)性
    介紹并證明解對(duì)初值的連續(xù)依賴(lài)性定理。
第四節(jié)  解對(duì)初值的可微性 
  介紹并證明解對(duì)初值的可微性定理。
考核要求
重點(diǎn)掌握解的存在唯一性定理、延拓定理的內(nèi)容以及解的存在唯一性定理的證明思想；熟練掌握Picard逼近列、Lipschits條件和延拓概念。

第三章線性微分方程
考試要點(diǎn)
準(zhǔn)確理解線性微分方程的一般理論；熟練掌握Liouville公式、常數(shù)變易法和常系數(shù)線性微分方程的特征根法、比較系數(shù)法、Laplace變換；理解振動(dòng)現(xiàn)象。
考試內(nèi)容
第一節(jié)   線性方程的一般性質(zhì) 
    線性微分方程的解的存在唯一性定理及線性微分算子的性質(zhì)。
第二節(jié)   n階線性齊次微分方程 
    建立齊次線性微分方程的一般理論，得到通解結(jié)構(gòu)定理，證明Liouville 公式并應(yīng)用到2階微分方程。
第三節(jié)   n階線性非齊次方程
    n階線性非齊次方程的通解結(jié)構(gòu)定理與常數(shù)變易法。
第四節(jié)   n階常系數(shù)線性齊次微分方程解法 
用特征根法解常系數(shù)線性齊次微分方程的基本步驟、理論證明、典型示例。
第五節(jié)   n階常系數(shù)線性非齊次微分方程解法
    比較系數(shù)法的建立、理論證明、典型示例。
第六節(jié)   Laplace變換 
介紹Laplace變換以及如何應(yīng)用Laplace變換求解一些常系數(shù)線性非齊次微分方程的Cauchy問(wèn)題。
第七節(jié)   2階常系數(shù)線性方程與振動(dòng)現(xiàn)象 
依據(jù)線性微分方程的解的表示解釋振動(dòng)現(xiàn)象。
考核要求
準(zhǔn)確理解線性微分方程的一般理論；熟練掌握Liouville 公式、常數(shù)變易法、特征根法、比較系數(shù)法和Laplace變換；能夠依據(jù)解的一般表示討論解的一些屬性。

第四章線性微分方程組
考試要點(diǎn)
準(zhǔn)確理解線性微分方程組的一般理論；能夠熟練掌握Liouville公式、常數(shù)變易法、常系數(shù)線性微分方程的特征根法和簡(jiǎn)單的非齊次方程的解法。
考試內(nèi)容
第一節(jié)   一階微分方程組 
    一階微分方程組初值問(wèn)題解的存在唯一性定理。
第二節(jié)   線性微分方程組的一般概念 
一階線性微分方程組初值問(wèn)題解的存在唯一性定理。
注：第一節(jié)與第二節(jié)共2學(xué)時(shí)
第三節(jié)   線性齊次微分方程組的一般理論
    建立線性齊次微分方程組的一般理論，得到通解結(jié)構(gòu)定理，證明Liouville 公式。
第四節(jié)   線性非齊次微分方程組的一般理論 
    線性非齊次微分方程組的一般理論和常數(shù)變易法。
第五節(jié)   常系數(shù)線性微分方程組的解法 
    特征根法—理論證明與方法的熟練應(yīng)用；簡(jiǎn)單的非齊次方程的解法。
考核要求
準(zhǔn)確理解線性微分方程組的一般理論；熟練掌握Liouville 公式、常數(shù)變易法和特征根法；能夠依據(jù)解的一般表示討論解的一些屬性。

第五章定性與穩(wěn)定性概念
考試要點(diǎn)
二維自治系統(tǒng)初等奇點(diǎn)的分類(lèi)及其附近的軌線分布；極限環(huán)的定義與示例；穩(wěn)定性概念及其判定定理，分別應(yīng)用穩(wěn)定性概念、線性化系統(tǒng)的特征值、Liapunov第二方法討論自治系統(tǒng)的解的穩(wěn)定性。
考試內(nèi)容
第一節(jié)相平面作圖   單擺 
    自治系統(tǒng)及其軌線的分類(lèi)與性質(zhì)。
第二節(jié)初等奇點(diǎn)附近的軌線分布 
    二維自治系統(tǒng)初等奇點(diǎn)的分類(lèi)—結(jié)點(diǎn)、鞍點(diǎn)、焦點(diǎn)、中心及其附近的軌線分布。
第三節(jié)極限環(huán)舉例 
    極限環(huán)的定義與示例。
第四節(jié)穩(wěn)定性概念 
    穩(wěn)定性概念、判定定理和判定方法，著重Liapunov第二方法。
考核要求
重點(diǎn)掌握二維自治系統(tǒng)初等奇點(diǎn)的分類(lèi)及其附近的軌線分布；理解穩(wěn)定性概念及其判定定理，會(huì)應(yīng)用穩(wěn)定性概念、線性化系統(tǒng)的特征值、Liapunov第二方法討論自治系統(tǒng)的解的穩(wěn)定性。
二、參考書(shū)目
1、東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，《常微分方程》，高等教育出版社，1982年。
2、葉嚴(yán)謙，《常微分方程》，高等教育出版社，1982年（第二版）。
3、中山大學(xué)數(shù)學(xué)系，《常微分方程》，高等教育出版社，1983年（第二版）。
4、國(guó)家教育委員會(huì)師范教育司，《普通高度師范學(xué)校數(shù)學(xué)教育專(zhuān)業(yè)（本科）教育教學(xué)基本要求（試行）》，首都師范大學(xué)出版社，1994。

泛函分析
第一章  度量空間與線性賦范空間
    考試要點(diǎn)：
    度量空間的概念，例子；度量空間中的收斂性與連續(xù)性；稠密性；可分性；Cauchy列與度量空間的完備性；壓縮映像原理及其應(yīng)用；線性賦范空間的概念，例子；Banach空間的概念。
    考試內(nèi)容：
    第一節(jié)  度量空間的概念與例子 
    距離及度量空間的定義；例子（歐氏空間；連續(xù)函數(shù)空間；數(shù)列空間等）。
    第二節(jié)  度量空間中的極限稠密性可分空間 
    領(lǐng)域的概念；收斂點(diǎn)列；有界集；具體空間中收斂性的意義；稠密性與可分空間的概念；不可分空間的例子。
第三節(jié)連續(xù)映射 
映射連續(xù)性的各種定義及其等價(jià)性。
第四節(jié)Cauchy點(diǎn)列與完備度量空間  
    度量空間中Cauchy點(diǎn)列的概念；完備度量空間的定義；完備度量空間與不完備度量空間的各類(lèi)例子；度量空間閉子空間的完備性。
第五節(jié)度量空間的完備化  
     等距同構(gòu)；度量空間的完備化定理；
第六節(jié)壓縮映像原理及其應(yīng)用 
壓縮映像的定義；壓縮映像原理；在隱函數(shù)定理及常微分方程中的應(yīng)用。
第七節(jié)線性空間  
     本節(jié)內(nèi)容為線性空間的基本概念。因?qū)W生已在高等代數(shù)課程中學(xué)過(guò)有限維空間的有關(guān)內(nèi)容，故只需簡(jiǎn)要回顧并強(qiáng)調(diào)無(wú)限維線性空間的特征即可。
第八節(jié)線性賦范空間和Banach空間  
     范數(shù)，線性賦范空間和Banach空間的概念；依范數(shù)收斂；空間；空間；空間；空間；空間；空間；有限維賦范空間的拓?fù)渫瑯?gòu)性。
    考核要求：
    掌握度量空間，線性賦范空間和Banach空間的概念和性質(zhì)；掌握映射連續(xù)性，度量空間的完備性等概念；熟悉空間，空間，空間，空間，空間，空間；透徹理解壓縮映像原理及其簡(jiǎn)單應(yīng)用。能獨(dú)立解答基本的習(xí)題。

第二章  線性有界算子和線性連續(xù)泛函
    考試要點(diǎn)：
    線性有界算子，線性連續(xù)泛函，線性算子空間，共軛空間。
    考試內(nèi)容：
    第一節(jié)  線性有界算子與線性連續(xù)泛函 
    線性有界算子與線性連續(xù)泛函的概念，例子，有界與連續(xù)的等價(jià)性，線性有界算子零空間的性質(zhì)，算子范數(shù)。
    第二節(jié)  線性算子空間和共軛空間 
    線性算子空間的結(jié)構(gòu)及其完備性，共軛空間，保距算子，同構(gòu)映照，同構(gòu)，一些具體空間的共軛空間。
     考核要求：
    掌握線性有界算子，線性連續(xù)泛函，有界性，連續(xù)性，算子范數(shù)，共軛空間，保距算子，同構(gòu)映照，同構(gòu)等基本概念；掌握有界與連續(xù)的等價(jià)性定理，基本定理；能夠計(jì)算簡(jiǎn)單的算子范數(shù)和一些具體空間的共軛空間。能獨(dú)立解答基本的習(xí)題。

第三章  內(nèi)積空間和Hilbert空間
    考試要點(diǎn)：
    內(nèi)積空間，投影定理，Hilbert空間，就范直交系，Hilbert空間上線性連續(xù)泛函的表示。
    考試內(nèi)容：
    第一節(jié)  內(nèi)積空間的基本概念 
    內(nèi)積空間與Hilbert空間的定義，平行四邊形公式，內(nèi)積空間的判定。
    第二節(jié)  投影定理 
    點(diǎn)到集合的距離，凸集，極小化向量定理，集合的正交，Hilbert空間的正交分解，投影算子及其性質(zhì)。
第三節(jié)Hilbert空間中的就范直交系
    就范直交系，F(xiàn)ourier系數(shù)集，Bessel不等式，Parseval恒等式，完全就范直交系的定義與判定,  Fourier展式，Gram-Schmidt正交化過(guò)程，Hilbert空間的同構(gòu)。
第四節(jié)Hilbert空間上的線性連續(xù)泛函 
Riesz表示定理，共軛算子及其性質(zhì)。
第五節(jié)自伴算子、 酉算子和正常算子
自伴算子、 酉算子和正常算子的基本概念與簡(jiǎn)單性質(zhì)。
    考核要求：
    掌握內(nèi)積空間，Hilbert空間，平行四邊形公式，就范直交系，Bessel不等式，Parseval恒等式，F(xiàn)ourier展式，投影算子，共軛算子，自伴算子，酉算子和正常算子等基本概念；掌握極小化向量定理，投影定理，完全就范直交系的判定定理,  Riesz表示定理等基本定理的內(nèi)容與證明；能獨(dú)立解答基本的習(xí)題。
第四章  Banach空間中的基本定理
    考試要點(diǎn)：
    Hahn-Banach延拓定理，Riesz表示定理，線性賦范空間中的共軛算子，   
第一節(jié)泛函延拓定理 
次線性泛函，Hahn-Banach泛函延拓定理的實(shí)形式、復(fù)形式及其推論。
第二節(jié)的共軛空間、Riesz表示定理
第三節(jié)共軛算子 
第四節(jié)線性賦范空間中共軛算子的定義及性質(zhì)。
第五節(jié)綱定理和一致有界性定理 
第一綱集，第二綱集，Baire綱定理,  一致有界性定理強(qiáng)收斂、弱收斂和一致收斂 
    強(qiáng)收斂、弱收斂、弱*收斂和一致收斂的定義，例子，相互關(guān)系，強(qiáng)收斂的充要條件。
第六節(jié)逆算子定理 
    逆算子定理及其證明。
第七節(jié)閉圖象定理  
    線性算子的圖象，閉算子，閉圖象定理。
    考核要求：
    掌握本章涉及到的所有基本概念，基本定理；由于Hahn-Banach延拓定理，Riesz表示定理，Baire綱定理，逆算子定理，閉圖象定理是泛函分析基礎(chǔ)理論的主要構(gòu)成部分，要求熟練掌握這些內(nèi)容；能獨(dú)立解答基本的習(xí)題。

第五章  線性算子的譜
    考試要點(diǎn)：
    簡(jiǎn)要介紹線性算子的譜的概念，基本性質(zhì)。
    譜的概念 
正則算子，正則點(diǎn)，正則集，譜點(diǎn)，特征值，特征向量，點(diǎn)譜，連續(xù)譜，例子。
第一節(jié)線性有界算子譜的基本性質(zhì) 
譜集的閉性。
    考核要求：
    了解線性算子的譜的概念，基本性質(zhì)。
    三、參考書(shū)目
    1、 程其襄等，《實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)》，高等教育出版社， 1983， 第一版。
2、 王聲望， 鄭維行，《實(shí)變函數(shù)與泛函分析概要》，第二冊(cè)，高等教育出版社，1992，第二版。
3、 夏道行等，《實(shí)變函數(shù)論與泛函分析》，下冊(cè)，高等教育出版社， 1985，第二版。   

解析幾何
一、考核概要
（一）、課程性質(zhì)
《空間解析幾何》是信息與計(jì)算科學(xué)專(zhuān)業(yè)（本科）的核心課程之一。解析幾何就是用代數(shù)方法研究幾何。它把局限于形、相的定性研究推進(jìn)到可以計(jì)算的定量研究的層面。為初等幾何提供了新的研究方法；為學(xué)習(xí)高等代數(shù)提供了具體的模型；為學(xué)習(xí)經(jīng)典分析準(zhǔn)備必要的知識(shí)。同時(shí)也為力學(xué)、物理學(xué)以及一切工程技術(shù)提供必要的數(shù)學(xué)工具。
（二）、學(xué)習(xí)該課程的目的
現(xiàn)實(shí)的三維空間是人們可直接接觸和直接觀察的歐氏空間。深入了解三維歐氏空間的結(jié)構(gòu)及其度量性質(zhì)有助于學(xué)生建立起更廣泛的“空間”概念以及向n維空間的推廣。通過(guò)《空間解析幾何》課程的學(xué)習(xí)，掌握解析幾何的思想，基本理論和研究方法；積累必要的數(shù)學(xué)知識(shí)；培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力、建立數(shù)學(xué)模型的能力、推理與演算的能力。
（三）、考核內(nèi)容
《空間解析幾何》課程的主要內(nèi)容有向量代數(shù)、軌跡與方程、平面及空間中的直線和曲線、幾類(lèi)特殊曲面、二次曲面的一般理論等五個(gè)部分。
在空間中引進(jìn)向量，實(shí)質(zhì)是使空間的幾何結(jié)構(gòu)代數(shù)的過(guò)程。向量的運(yùn)算能夠解決幾何中的具有仿射性質(zhì)的幾類(lèi)基本問(wèn)題和有關(guān)變量的幾類(lèi)基本問(wèn)題。再通過(guò)坐標(biāo)法、建立軌跡（曲面、曲線）的方程，從而將研究曲線和曲面的幾何問(wèn)題歸結(jié)為研究其方程的代數(shù)問(wèn)題。包括研究圖形的性質(zhì)、相互位置關(guān)系、方程的形式及相互轉(zhuǎn)化以及建立各種形式的方程的方法等方面。對(duì)二次曲面的一般理論的討論，自然而然地引進(jìn)了坐標(biāo)變換的方法，再進(jìn)一步就可以轉(zhuǎn)到關(guān)于線性變換的代數(shù)理論的研究。由二次曲面方程的系數(shù)構(gòu)成的若干個(gè)不變量和半不變量，完全可以刻劃二次曲面的各種性質(zhì)，但不能確定二次曲面在空間中的位置。這也是一個(gè)十分重要的概念和思想。

二、具體的考核內(nèi)容和要求
第一章  向量與坐標(biāo)
考核要點(diǎn)：
向量的概念與運(yùn)算、坐標(biāo)與坐標(biāo)系、用坐標(biāo)進(jìn)行向量的運(yùn)算、向量共線或共面的必要條件。
考核內(nèi)容：
1·1向量的概念、向量的線性運(yùn)算、向量的線性關(guān)系和向量分解 
向量的定義、向量的模、單位向量、零向量、相等的向量、相反的向量、向量的共線與共面、向量的自由平移性、向量的加法及運(yùn)算律、向量的減法、向量的數(shù)乘及運(yùn)算律、向量的線性組合、向量由其它向量的線性表出、向量的線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)的定義和有關(guān)定理。
1·2坐標(biāo)系與向量的坐標(biāo)                          
仿射坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系、右手系、向量在坐標(biāo)系下的坐標(biāo)、坐標(biāo)系的基底、用坐標(biāo)進(jìn)行向量的線性運(yùn)算、共線與共面的充要條件、定比分點(diǎn)。
1·3向量在給定方向上的射影                      
射影的定義和有關(guān)定理
1·4向量的內(nèi)積                                  
向量?jī)?nèi)積的定義和運(yùn)算律、二向量垂直的充要條件、用坐標(biāo)進(jìn)行向量?jī)?nèi)積運(yùn)算、兩點(diǎn)距離公式、向量的方向余弦、二向量之夾角。
1·5向量的外積                                  
向量外積的定義及運(yùn)算律、幾何意義、用坐標(biāo)進(jìn)行外積運(yùn)算、二向量共線的充要條件。
*1·6三向量的混合積
混合積的定義及運(yùn)算律、幾何意義、三矢共面的充要條件、用坐標(biāo)進(jìn)行混合積運(yùn)算。
重點(diǎn)：
本章是建立解析幾何理論的基礎(chǔ)和工具。學(xué)生應(yīng)深刻理解空間的幾何結(jié)構(gòu)是如何實(shí)現(xiàn)代數(shù)化的。并能熟練掌握和運(yùn)用向量的基本知識(shí)，解決關(guān)于共線、共面、定比分點(diǎn)等仿射性質(zhì)的問(wèn)題；解決關(guān)于長(zhǎng)度、夾角、面積、體積等度量問(wèn)題。

第二章 軌跡與方程
考核要點(diǎn)：
軌跡與方程的關(guān)系、普通方程與參數(shù)方程、建立方程的方法。
考核內(nèi)容：
2·1平面曲線的方程                               
平面曲線與其方程的關(guān)系、平面曲線的普通方程和參數(shù)方程、各種形式的方程相互轉(zhuǎn)化。
2·2曲面的方程                                   
曲面的直角坐標(biāo)方程和參數(shù)方程、建立曲面方程的方法、球面和圓柱面的方程。
2·3母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程                   
柱面的準(zhǔn)線和母線、母線平行于坐標(biāo)軸的橢圓柱面、雙曲柱面、拋物柱面的方程。
2·4空間曲線的方程                               
空間中的二曲面的交線、空間曲線的參數(shù)方程、空間曲線的投影柱面。
重點(diǎn)：
建立動(dòng)點(diǎn)軌跡的方程是解析幾何的基本思想。學(xué)生應(yīng)當(dāng)深刻理解軌跡與其方程之間的關(guān)系，能熟練地掌握建立曲面或曲線的方程的方法以及直角坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的相互轉(zhuǎn)化。

第三章 平面與空間直線
考核要點(diǎn)：
平面與空間直線的各種形式的方程，平面與平面、平面與點(diǎn)、平面與直線、直線與點(diǎn)、直線與直線之間的相關(guān)位置。
考核內(nèi)容：
3·1平面的方程                                   
平面的方位向量、向量式參數(shù)方程、平面的一般方程及討論、平面的單位正法向量、法式方程。
3·2平面與點(diǎn)的相關(guān)位置                           
點(diǎn)到平面的離差、距離、平面劃分空間問(wèn)題及三元一次不等式的幾何意義
3·3兩平面的相關(guān)位置                             
二平面平行、重合、相交、二平面所成的二面角、二平面垂直的充要條件。
3·4空間直線的方程                               
直線的方向向量、直線的向量或參數(shù)方程、直線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線的一般方程、直線射影式方程
3·5直線與平面的相關(guān)位置                         
直線平行于平面、直線在平面上、直線與平面相交、直線與平面的夾角。
3·6空間兩直線的相關(guān)位置、                         
直線的共面與異面、空間兩直線異面、相交、平行、重合的充要條件、空間兩直線的夾角、異面直線間的距離與公垂線方程。
3·7空間直線與點(diǎn)的相關(guān)位置                       
點(diǎn)到直線的距離
3·8平面束
有軸平面束的方程、平行平面束的方程。
重點(diǎn)：
本章是空間解析幾何的基本內(nèi)容、學(xué)生應(yīng)當(dāng)熟練掌握平面和空間直線的各種形式的方程和建立這些方程的方法、熟練掌握各種相關(guān)位置的解析表達(dá)式和計(jì)算公式。

第四章  柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)面與二次曲面
考核要點(diǎn)：
柱面方程、錐面方程、旋轉(zhuǎn)面方程的建立方法、齊次方程、繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)面方程、橢球面、雙曲面、拋物面的方程、單葉雙曲面與雙曲拋物面的直母線族方程。
考核內(nèi)容：
4·1柱面                                          
柱面的母線方向、準(zhǔn)線、柱面的直角坐標(biāo)方程和參數(shù)方程。
4·2錐面                                          
錐面的頂點(diǎn)、準(zhǔn)線和母線、錐面的直角坐標(biāo)方程和參數(shù)方程、齊次方程。
4·3旋轉(zhuǎn)曲面                                      
旋轉(zhuǎn)軸、母線、經(jīng)線與緯線、一般旋轉(zhuǎn)曲面的直角坐標(biāo)方程的建立方法、繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)面方程。
4·4橢球面                                        
橢球面的直角坐標(biāo)方程與參數(shù)方程
4·5雙曲面                                        
單葉雙曲面與雙葉曲面的方程及討論
4·6拋物面                                        
橢圓拋物面與雙曲拋物面的方程及討論
4·7單葉雙曲面與雙曲拋物面的直母線。              
單葉雙曲面的直母線族方程、雙曲拋物面的直母線族方程、單葉雙曲面與雙曲拋物面的直母線的性質(zhì)。
    重點(diǎn)：
本章介紹空間中的幾類(lèi)有突出幾何特征和應(yīng)用廣泛的曲面。學(xué)生應(yīng)當(dāng)熟悉這幾類(lèi)曲面的方程和圖形。曲面是空間中動(dòng)點(diǎn)的軌跡，有時(shí)也可以由一條曲線按某種規(guī)律運(yùn)動(dòng)生成，有的曲面可以由一族曲線（包括直線）生成，學(xué)生應(yīng)了解和領(lǐng)會(huì)這種方法。

第五章 二次曲面的一般理論
考核要點(diǎn)：
二次曲面的漸近方向與非漸近方向、中心、切線、切平面、奇點(diǎn)、徑面、奇向、主徑面與主方向、特征方程與特征根、二次曲面方程的化簡(jiǎn)與分類(lèi)、直角坐標(biāo)變換、應(yīng)用不變量化簡(jiǎn)二次曲面的方程。
考核內(nèi)容：
5·1二次曲面與直線的相關(guān)位置                     
二次曲面與直線相關(guān)位置的6種情況的討論
5·2二次曲面的漸近方向與中心                     
漸近方向與非漸近方向、中心與中心坐標(biāo)、中心二次曲面、線心二次曲面、面心二次曲面、無(wú)心二次曲面。
5·3二次曲面的切線與切平面                       
切線的定義、充要條件、切平面方程、奇點(diǎn)。
5·4二次曲面的徑面與奇向                         
徑面的定義、徑面的方程、共軛弦和共軛方向、徑面的性質(zhì)、奇向。
5·5二次曲面的主徑面與主方向、特征方程與特征根   
主徑面、主方向、特征方程、特征根、特征根的性質(zhì)。
5·6二次曲面方程的化簡(jiǎn)與分類(lèi)                     
空間直角坐標(biāo)變換及變換公式、由新坐標(biāo)系的三個(gè)坐標(biāo)平面確定的坐標(biāo)變換及變換公式、二次曲面方程的化簡(jiǎn)與分類(lèi)。
5·7應(yīng)用不變量化簡(jiǎn)二次曲面的方程                 
不變量與半不變量、五類(lèi)二次曲面的判別、應(yīng)用不變量化簡(jiǎn)二次曲面的方程。
    重點(diǎn)：
本章是空間解析幾何的重要內(nèi)容，學(xué)生應(yīng)當(dāng)熟悉二次曲面的一系列概念以及確定它們的方法；理解二次曲面一般理論的討論方法；掌握坐標(biāo)變換方法和應(yīng)用不變量化簡(jiǎn)二次曲面的方法。

三、參考書(shū)目
 [1] 呂林根、許子道編《解析幾何》高等教育出版社、第三版、2001年6月
 [2] 南開(kāi)大學(xué)主編《空間解析幾何》高等教育出版社。
 [3]《解析幾何學(xué)習(xí)輔導(dǎo)書(shū)》，呂林根、許子道， 高等教育出版社，2006年5月。

西北師范大學(xué)

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