北京交通大學研究生專業(yè)介紹：數 學 正文

　　碩士研究生培養(yǎng)方案----數學

　　數學（一級學科）

　?。▽I(yè)代碼0701，授予理學碩士學位）

　　一、培養(yǎng)目標

　　碩士學位獲得者應較好地掌握馬克思主義理論的基本原理、毛澤東思想和鄧小平理論,樹立正確的世界觀、人生觀和價值觀,堅持四項基本原則,熱愛祖國,遵紀守法,品德良好,身體健康,有良好的學術道德,積極為社會主義現代化建設服務。

　　在學識方面，要在所學專業(yè)領域具有堅實的基礎理論和系統(tǒng)的專門知識，了解相關學科的發(fā)展趨勢和本專業(yè)的前沿研究動態(tài)；具有從事科學研究和解決實際問題的能力；較熟練地應用計算技術處理相關實際問題。掌握一門外國語言，能熟練閱讀專業(yè)文獻，撰寫有創(chuàng)新內容的論文和進行學術交流。畢業(yè)后可以獨立從事本專業(yè)的理論研究、實際應用以及數學教學工作?？稍诟叩仍盒！⒖蒲袡C構或實際應用部門工作。

　　二、學科、專業(yè)及研究方向簡介

　　本學科于1990年獲應用數學碩士學位授予權，2003年獲運籌學與控制論博士學位授予權，2005年獲數學一級學科碩士學位授予權。目前在基礎數學、應用數學、計算數學、概率論與數理統(tǒng)計、運籌學與控制論五個二級學科上招收碩士研究生，在運籌學與控制論專業(yè)招收博士研究生。本學科近五年承擔的國家自然科學基金重點和面上項目20余項，863項目、霍英東基金、高校優(yōu)秀青年教師基金、教育部重點基金、教育部優(yōu)秀青年教師資助計劃、新世紀優(yōu)秀人才支持計劃等10余項，其成果曾獲得中科院自然科學二等獎、全國高?？萍吉勛匀豢茖W二等獎等，在國內外產生了重要影響。數學學科現有教師70余名，其中博士生導師11名，教授18名，副教授30余名。

　　主要研究方向及其研究內容：

　　1.代數學理論及其應用

　　代數學是一門重要的數學分支，它主要研究各種代數系統(tǒng)的結構與性質。主要研究興趣在群論、代數表示論和代數編碼等領域。群論是一個古老的學科，它主要研究群的結構與分類，并通過研究圖的自同構群分析圖的性質，定出圖的結構，進而將其用于通訊理論、軟件工程、網絡的優(yōu)化設計等；代數表示論是二十世紀七十年代初興起的代數學的一個新的分支,它的基本內容是研究環(huán)與代數的結構，并且在物理學、化學、天文、建筑、信息與通信等自然科學與技術領域里都有廣泛的應用；代數編碼理論是由數字通訊的可靠性要求所建立和不斷發(fā)展的數學理論，它主要利用代數工具構作具有良好特性的糾錯碼。

　　2.幾何與拓撲

　　幾何學是數學的一個古老分支，而微分幾何學則是上世紀以來得到迅猛發(fā)展又對數學的其它分支及其理論產生重大影響的分支學科。它包括極小子流形理論，黎曼幾何學，Mobius幾何以及流形上的分析等。經典微分幾何就是三維歐氏空間中的曲面論和曲線論，它對于齒輪設計和計算機的圖形設計等都有具體的運用。主要研究興趣包括Mobius幾何和流形上的分析，主要內容為指標定理，尤其是殆復流形上橢圓算子的局部指標定理的研究。

　　拓撲學是數學中的一個重要而基礎的分支，起初它屬幾何學的一支，研究圖形在連續(xù)變形下保持不變的性質。現已發(fā)展為研究連續(xù)性現象的數學分支。由于連續(xù)在數學中的表現方式與研究方法的多樣性，拓撲學又分成研究對象與方法各異的若干分支。如一般拓撲學與代數拓撲學。后來相繼出現了微分拓撲學與幾何拓撲學等分支。

　　拓撲學與微分幾何有著血緣的關系，它們在不同的層次上研究流形的性質。例如，陳省身示性類不但對微分幾何學影響深遠，對拓撲學也十分重要。拓撲學對現代分析學的發(fā)展起了巨大的推動作用。例如，勒雷和紹德爾把布勞威爾的不動點定理和映射度理論推廣到巴拿赫空間形成了拓撲度理論。這些理論成為研究非線性偏微分方程的標準工具。拓撲學的需要大大刺激了抽象代數的發(fā)展，并形成兩個新的代數分支，同調代數與代數K理論。在經濟學方面，馮.諾依曼首先把不動點定理用來證明均衡性的存在性。

　　3.函數論與非線性分析

　　函數論作為傳統(tǒng)的數學分支，主要研究函數空間及其性質，是分析數學的理論基礎。復變的情形涉及單復變數與多復變數的解析函數論；實變的情形涉及測度論、抽象積分。函數逼近論與調和分析是現代數學中可以歸入函數論的兩個重要的活躍的研究方向。調和分析包括歐氏空間及環(huán)群上的傅立葉分析、空間與索伯列夫空間等上的奇異積分算子的研究、新近發(fā)展起來的小波分析理論。從廣義上講，調和分析還包括李群與黎曼對稱空間上的抽象傅立葉分析，與李群的表示理論有重要的交叉。函數逼近論包括線性與非線性逼近方法的研究、連續(xù)模與－泛函的性質、最佳逼近階的估計、最佳逼近階與函數結構性質的關系的研究、最佳逼近的精確常數的計算、寬度問題、最優(yōu)機械求積、插值與樣條等。與計算數學及計算機的數學理論有重要的交叉。

　　非線性分析是目前國際上研究十分活躍的交叉學科之一，主要研究數學與數學物理中的非線性問題。由于它在生命科學，自然科學，地質科學，計算機科學等領域的廣泛的應用，可以預見它將在國民經濟主戰(zhàn)場起到重要作用。其主要內容包括巴拿赫空間的分析學，拓撲方法與變分方法，莫爾斯理論，系統(tǒng)的混沌性，分形結構等。

　　4.混沌、分形與控制

　　該方向屬于復雜性科學基礎理論和方法研究，在于揭示各種復雜系統(tǒng)的共性和演化過程中所遵循的共同規(guī)律，如研究演化、涌現、自組織、自適應、自相似等復雜系統(tǒng)的共同特征等。它的應用幾乎涉及自然科學和社會科學的各個領域，正起著把現代科學各個領域連接起來的作用。主要內容包括：Fractal分析，Hausdorff測度理論，混沌及其控制，分形和圖象壓縮，分形與編碼理論，低維動力系統(tǒng)，高維動力系統(tǒng)，復動力系統(tǒng)，遍歷性理論，李雅普諾夫指數和熵，動力系統(tǒng)在生物學、生態(tài)學、經濟學、現代交通系統(tǒng)、神經網絡等領域中的應用。

　　5.微分方程理論與應用

　　微分方程（包括常微分方程和偏微分方程）是數學學科中十分重要的經典領域，與數學的基礎領域（分析、幾何與代數）以及物理、力學、化學、生物等問題都有密切關系，它是聯系實際問題的重要途徑。主要研究課題有：常微分方程與偏微分方程的定性分析和穩(wěn)定性理論、適定性理論（存在性、唯一性和解對已知數據的連續(xù)依賴性）、邊值問題和解析理論；研究廣義泛函空間上的變分方法、偏微分方程及方程組的正則性理論和奇異性分析，奇異積分方程理論，非線性分析理論，非線性波理論和數值方法。應用現代計算機與網絡技術研究或求方程精確解，應用偏微分方程和常微分方程理論研究彈性力學和斷裂力學問題分析、基層圖像處理、編碼分析、生物和化學中的有關問題。

　　6.計算理論與信息處理

　　本方向主要研究如何利用數學的思想和方法解決實際應用問題，其核心內容是有關計算理論研究，以及以計算機為工具、以數學建模為基礎的數值分析和模擬計算，并提供有效的計算方法和信息處理軟件。該方向涉及多個研究及應用領域，包括數學建模方法、數值計算、圖像重建、圖像處理、計算金融學等。其中，數學建模研究實際應用問題的數學描述方法（建模）以及如何用數值方法有效地求解問題。圖像重建主要研究如何利用從物體外部接受到的信息重建描述物體物性參數的函數圖像。研究內容包括：問題的數學表述（或數學建摸）、數學適定性、有效的數值方法、重建函數的圖像表示與處理以及應用軟件的研究。圖像處理的研究內容主要有：圖像檢測、特征提取以及圖像序列中運動目標的跟蹤和檢測方法及相應的軟件實現技術等。圖像處理和圖像重建是目前國內外數學、電子和計算機交叉學科的研究熱點，具有很強的應用背景,例如圖像重建的研究成果在上世紀七十年代即已成功應用于醫(yī)學（CT），而圖像處理中的邊緣檢測、特征提取等技術則廣泛應用于交通、公安、醫(yī)學等多個領域。本方向的另一個研究內容“計算金融學”也是數學與應用相結合的一個新興研究領域，它以數學在金融、保險、證券等行業(yè)的應用為主要研究內容，包括金融數學建模、風險信息處理、金融計量、資產定價等。

　　計算理論與信息處理研究方向的工作非常有利于經濟和科學的發(fā)展，并能促進各學科的滲透。因此，它們被認為是21世紀技術科學中最有用的兩個密切相關研究領域。目前，在提倡科學技術為社會和國家的現代化服務的大環(huán)境下，本研究方向的高級人才正越來越受到社會的歡迎。

　　7．微分方程數值解法

　　科學與工程的大量問題最終歸結為微分方程，該方向是研究求解微分方程數值解的各種方法(如有限元方法、差分方法、有限體積法、譜方法、廣義差分方法等)，為科學工程計算提供優(yōu)秀的計算方法和應用軟件，并應用于各種領域中的數值計算中，直接為科學發(fā)展和經濟建設服務。該方向的培養(yǎng)目標是使研究生掌握扎實的求解微分方程數值解的基礎理論和應用技能，具有較強的科學計算編程能力，成為科學工程計算的專業(yè)人才。

　　8.隨機分析與隨機控制

　　隨機控制是當今最為活躍的新興數學領域之一，也是國際上的熱門學科。該方向的客觀背景來源于金融控制、經濟管理、航天制導、原子能應用及自動控制諸多現代前沿領域，它的方法及理論是為解決這些領域中的一些關鍵問題而產生的，因此它在這些領域有著巨大的應用價值。由于基于實用背景的控制模型的處理需要產生隨機分析、方程理論及控制理論的一些新的思想方法，因而隨機控制的研究又有著重大的理論意義。由于以上原因，這方面的研究產生了許多具有重要意義的研究成果，包括獲得菲爾茲獎及經濟學諾貝爾獎的重大成果。從事隨機控制的研究需要較為扎實全面的數學素養(yǎng)，要熟悉概率（特別是隨機分析）、分析、方程及控制方面的基本理論及處理手法。

　　9.概率論與數理統(tǒng)計及其應用

　　概率論與數理統(tǒng)計是現代數學的一個重要分支。近二十年來，隨著計算機的發(fā)展以及各種統(tǒng)計軟件的開發(fā)，概率統(tǒng)計方法在金融、保險、生物、醫(yī)學、經濟、運籌管理和工程技術等領域得到了廣泛應用。主要包括：極限理論、隨機過程論、數理統(tǒng)計學、概率論方法應用、應用統(tǒng)計學等。極限理論包括強極限理論及弱極限理論；隨機過程論包括馬氏過程論、鞅論、隨機微積分、平穩(wěn)過程等有關理論。概率論方法應用是一個涉及面十分廣泛的領域，包括隨機力學、統(tǒng)計物理學、保險學、隨機網絡、排隊論、可靠性理論、隨機信號處理等有關方面。應用統(tǒng)計學方法的產生主要來源于實質性學科的研究活動中，例如，最小二乘法與正態(tài)分布理論源于天文觀察誤差分析，相關與回歸分析源于生物學研究，主成分分析與因子分析源于教育學與心理學的研究，抽樣調查方法源于政府統(tǒng)計調查資料的搜集等等。本研究方向在學習概率論、統(tǒng)計學、隨機過程論等基本理論的基礎上，致力于概率統(tǒng)計理論和方法同其它學科交叉領域的研究，以及統(tǒng)計學同計算機科學相結合而產生的數據挖掘（DataMining）的研究。此外,金融數學(MathematicalFinance)也是本專業(yè)的一個主要研究方向。它主要是通過數學建模，理論分析、推導，數值計算以及計算機模擬等理論分析、統(tǒng)計分析和模擬分析，以求研究和分析所涉及的理論問題和實際問題。

　　10.圖、網絡與組合優(yōu)化

　　本方向主要利用拓撲、代數以及組合理論，研究圖與網絡中一些基礎問題。用拓撲理論研究圖在各種拓撲流形上,在各種條件下嵌入的存在性,以及在各種目標下的最優(yōu)性，兼顧在超大規(guī)模集成電路布局設計自動化中的應用以及從中提出的基礎拓撲理論研究；用有限群和置換群理論研究強對稱性圖類，主要是弧傳遞圖、半傳遞圖、半對稱圖、s-正則圖以及s-傳遞圖等，強調它們在網絡拓撲中的應用，特別是優(yōu)化網絡參數如容錯直徑、限制性邊連通度等的估計與計算；用組合理論研究泛函方程,地圖計數以及交通網絡設計等。

　　11.組合設計與編碼理論

　　組合設計理論近年來無論在國際上還是在國內都是發(fā)展十分迅速的一個數學分支,它主要研究各種離散結構的存在性問題、構造問題、計數問題和優(yōu)化問題等。其基本內容和方法既與數論,代數學,有限幾何以及數理統(tǒng)計等數學分支有密切而深刻的聯系，又與其它新興學科諸如計算機科學、信息科學、網絡通訊理論乃至生物學和化學互相交叉互相滲透。組合設計理論和方法在編碼、密碼學和計算機網絡中的應用正越來越受到人們的重視，引起眾多學者的密切關注和研究。

　　12.系統(tǒng)優(yōu)化理論與方法

　　系統(tǒng)優(yōu)化是運籌學領域中最為活躍的分支之一，并且與其他應用科學有密切的聯系。它的核心是運用數學方法并以電子計算機為工具研究各種系統(tǒng)的優(yōu)化途徑及解決方案，為決策者提供科學決策的依據。主要研究對象是諸如通信與網絡、交通運輸、自動控制、國防安全、工程技術、科學管理等應用領域中出現的優(yōu)化問題，其主要研究方法是實際問題定量化和模型化，尤其是建立各種優(yōu)化模型。最優(yōu)化的主要目的在于改善并解決實際問題，即針對所研究的系統(tǒng)，求得一個合理的最佳方案，最終達到系統(tǒng)運行的最優(yōu)目標。

　　目前該方向的研究重點是：連續(xù)系統(tǒng)優(yōu)化、隨機系統(tǒng)優(yōu)化、混沌系統(tǒng)優(yōu)化、交通優(yōu)化。其中連續(xù)系統(tǒng)優(yōu)化包括非線性規(guī)劃理論與方法、變分不等式與互補問題、大范圍優(yōu)化理論與方法、博弈論在經濟管理中的應用、信號處理與圖像恢復中的優(yōu)化問題；隨機系統(tǒng)優(yōu)化包括隨機服務系統(tǒng)理論與方法、系統(tǒng)可靠性理論與方法、隨機存貯分析；交通優(yōu)化包括交通網絡均衡問題的建模、分析與控制。

　　三、培養(yǎng)方式及學習年限

　　1．培養(yǎng)方式

　　碩士研究生的培養(yǎng)實行導師負責制。在導師指導下，結合上課、講座、討論班等方式使學生在自學能力、創(chuàng)新能力、實踐能力等方面得到提高，適應社會的需要。

　　2．學習年限

　　全日制攻讀碩士學位的研究生實行2至3年的彈性學制，具體學習年限應根據學生的學習情況由導師決定。非全日制攻讀碩士學位的研究生一般不超過4年。

　　四、課程設置與學分

　　課程設置分學位課和非學位課兩大類，學位課分公共課、基礎課、專業(yè)基礎課，非學位課分必修環(huán)節(jié)和任選課。碩士研究生實行學分制，學習階段至少修滿28學分。課程教學一學年分為四個時間段，每學期分上半學期和下半學期，課程學習一般應在1.5學年內完成。學分具體要求如下：

　　1．學位課（不低于17學分）其中：公共課5學分，基礎課，專業(yè)基礎課12學分，

　　2．非學位課（不低于11學分）

　　必選課（不低于3學分）其中：前沿講座2學分，文獻綜述1學分，任選課（不低于8學分）

　　其中：專業(yè)選修課不少于4學分。

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