2021中國海洋大學F1101綜合考試研究生考試大綱 正文

F1101綜合考試

（包含①實變函數(shù)、②計算方法、③常微分方程）
閉卷考試，滿分為100分，其中實變函數(shù)40%、計算方法30%、常微分方程30%。考試時間：120分鐘。復試內容大綱如下：
①實變函數(shù)
一、考試性質
實變函數(shù)是數(shù)學相關專業(yè)碩士研究生入學考試復試筆試科目。
二、考察目標
實變函數(shù)是近代分析數(shù)學的基礎，是數(shù)學分析的延續(xù)與拓廣?？荚囈钥疾旎局R為主，考核對重要定理的理解和應用。旨在測試考生對集合論、可測集、可測函數(shù)、可積函數(shù)等基本定義概念的理解和掌握。要求考生理解實變函數(shù)的基本概念和基本理論；掌握其基本論證方法和常用結論；具備較強的邏輯推理能力及初步的應用能力。
三、考試形式
閉卷考試，本部分滿分為40分。
試卷結構：客觀題和簡答題約占50%，證明題約占50%。
四、考試內容
（一）集合論
1.集合的各種運算，上、下限集的定義
2.集合的對等，集合的基數(shù)，集合的可列性；
3.開集、閉集、完全集、稠密集、稀疏集的概念及其性質；點集的內部、導集、閉包、邊界；Cantor三分集的結構和性質；
4.點到集合的距離，集合間的距離。
（二）可測集
1.外測度、測度和可測集的概念及其性質，集合可測性的判別方法；
2.開集、閉集的可測性，以及它們與可測集之間的聯(lián)系。
（三）可測函數(shù)
1.可測函數(shù)的概念及其性質；
2.函數(shù)可測性的判別方法，其與簡單函數(shù)的聯(lián)系；
3.可測函數(shù)列幾種收斂性之間的關系（包括處處收斂、幾乎處處收斂、一致收斂、近一致收斂、測度收斂）；
4.可測函數(shù)和連續(xù)函數(shù)的聯(lián)系
5.葉果洛夫（Egoroff）定理、里斯(Riesz)定理、魯津(Rusin)定理的含義及應用；
（四）Lebesgue積分
1.Lebesgue積分的定義及其性質，函數(shù)可積性的判定；
2.積分收斂定理（勒維(Levi)定理，法杜(Fatou)定理和Lebesgue控制收斂定理，Vitali定理）及應用；
3.Riemann積分與Lebesgue積分之間的區(qū)別和聯(lián)系； Fubini定理。
五、是否需使用計算器
否。
 
②計算方法
一、考試性質
計算方法是數(shù)學相關專業(yè)碩士研究生入學考試復試筆試科目。
二、考察目標
要求考生理解數(shù)值計算的基本方法及基本理論，掌握基本數(shù)值方法的理論分析技巧, 具有把數(shù)學問題近似求解和編程實現(xiàn)能力。本科目主要考查考生對計算數(shù)學基礎理論的掌握及考生的基本數(shù)值分析能力。從如下三方面測評考生的計算數(shù)學基本素質：
1.基本概念和基本理論
2.基本數(shù)值方法的構建及分析
3.綜合算法分析及應用
三、考試形式
閉卷考試，本部分滿分為30分。
試卷結構：
數(shù)值逼近的基本內容約占40%；
代數(shù)方程的數(shù)值方法及分析約占40%；
微分方程數(shù)值解法及分析約占20%。
四、考試內容
（一）數(shù)值逼近基礎
1．誤差（誤差來源，誤差限，有效數(shù)字，誤差傳播，避免誤差的注意事項）
2．插值法（Lagrange插值，Hermite插值，分段插值，分段Hermite插值, 樣條插值，數(shù)值微分）
3．數(shù)據(jù)擬合法（最小二乘原理，多變量擬合，正交多項式擬合）
4．數(shù)值積分（梯形、Simpson公式及誤差估計，復化公式及誤差估計，加速公式與Romberg求積，Gauss型公式等）
（二）代數(shù)方程數(shù)值方法
1．線性方程組的直接法 (高斯消去法、主元消去法、矩陣分解法、誤差分析)
2．線性方程組的迭代法 (幾種常用迭代法收斂性及誤差估計、判別收斂的條件、收斂速率)
3．矩陣特征值和特征向量的計算 (冪法、反冪法、QR算法、Jacobi方法)
4．非線性代數(shù)方程的解法 (對分區(qū)間法、迭代法、迭代收斂的加速、Newton法、弦位法、拋物線法、最速下降法)
（三）微分方程數(shù)值方法
1．常微分方程的數(shù)值解法（幾種簡單的數(shù)值解法、R-K方法、線性多步法、預估校正公式、自動選取步長及事后估計）
2．偏微分方程的差分解法（差分格式的建立、收斂性、穩(wěn)定性、高維問題的交替方向法）
五、是否需使用計算器
否。

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