2021天津科技大學數(shù)學專業(yè)研究生考研考試大綱 正文

復習大綱
高等數(shù)學教學課程大綱
1.函數(shù)與極限
本章節(jié)主要教學要求：
1.理解函數(shù)概念。
2.了解函數(shù)的幾種特性：有界性、單調性、奇偶性和周期性。
3.理解復合函數(shù)概念，了解反函數(shù)的概念。
4.會建立簡單實際問題中的函數(shù)關系式。
5.理解極限的概念，理解左右極限的定義。會利用定義證明一些簡單的極限，了解極  限的性質。
6.理解無窮小和無窮大的概念，掌握無窮小的運算性質，會用等價無窮小求極限。
7.掌握極限的運算法則及變量代換法則。
8.理解極限存在的夾逼準則，了解單調有界收斂準則，會用兩個重要極限求極限。
9.理解函數(shù)在一點連續(xù)和在一個區(qū)間上連續(xù)的概念。
10.了解函數(shù)間斷點的概念，會判別函數(shù)間斷點類型。
11.了解初等函數(shù)的連續(xù)性。了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質，并能作一般性的應用。
2. 導數(shù)與微分
本章節(jié)主要教學要求：
1.理解導數(shù)的概念，了解左右導數(shù)的概念。
2.理解導數(shù)的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程。
3.理解函數(shù)的可導性與連續(xù)性之間的關系。
4.熟練掌握導數(shù)的四則運算法則和復合函數(shù)的求導法則，了解反函數(shù)的求導法則。
5.掌握基本初等函數(shù)的求導公式。
6.了解高階導數(shù)的概念，掌握初等函數(shù)二階導數(shù)的求法，會求簡單函數(shù)的 n 階導數(shù)， 會求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階、二階導數(shù)。
7.理解微分的概念，掌握函數(shù)可導與可微的關系，了解微分的幾何意義，了解微分的  運算法則和一階微分形式不變性，掌握微分的簡單應用。
3. 微分中值定理與導數(shù)應用本章節(jié)主要教學要求：
1.理解費馬引理、羅爾定理和拉格朗日定理，了解柯西定理。

2.掌握用洛必達法則求各類未定式極限的方法。3.了解泰勒定理，知道e x、sin x、cos x、ln(1 ? x)


與(1? x)? 等函數(shù)的麥克勞林公式。

4.掌握函數(shù)單調性的判斷，會利用函數(shù)單調性證明某些不等式和方程根的唯一性。
5.會判斷曲線的凸凹性，會求曲線的拐點。
6.理解函數(shù)極值的概念，掌握求極值的方法；掌握函數(shù)最大值和最小值的求法，會求  解較簡單的最大值和最小值的應用問題。
7.會求曲線的水平與鉛直漸近線，會利用導數(shù)描繪函數(shù)的圖形。
8.了解弧微分、曲率和曲率半徑的概念，會求弧微分，會計算曲率和曲率半徑。
4. 不定積分
本章節(jié)主要教學要求：
1.理解原函數(shù)和不定積分的概念，掌握不定積分的性質。
2.熟練掌握不定積分的基本公式。
3.掌握不定積分的兩類換元法和分部積分法。
4.會求簡單有理函數(shù)、簡單三角函數(shù)有理式和簡單無理函數(shù)的不定積分。
5.定積分及其應用 本章節(jié)主要教學要求：
1.理解定積分的概念，掌握定積分的性質，了解函數(shù)可積的充分條件。
2.熟悉積分上限函數(shù)及其求導方法。
3.熟練掌握牛頓-萊布尼茲公式。
4.掌握定積分的換元法和分部積分法。
5.理解兩類反常積分的概念，會計算一些簡單的反常積分。
6.掌握定積分的元素法。
7.掌握平面圖形面積、立體體積、平面曲線弧長等幾何量的計算。
8.會求變力做功、液體的側壓力和引力等簡單的物理量。
6. 微分方程
本章節(jié)主要教學要求：
1.了解微分方程、微分方程的階、微分方程的解、通解、初始條件、特解等概念。
2.掌握可分離變量方程和一階線性方程的解法，會解齊次方程，了解伯努利方程的解  法，了解會用變量代換求解方程的方法。

3.會用降階法求解形如 y (n) ?

f (x),

y? ?

f ( x, y?) 和 y? ?

f ( y, y?) 的微分方程。

4.掌握二階線性微分方程解的結構。
5.掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，了解高階常系數(shù)齊次線性微分方程的解
法。
?x
6.會求 f (x) ? Pm (x)e 的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，了解 f (x) ?
7.e?x [P (x) cos?x ? P (x) sin?x] 的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法。
l n
8.會用微分方程解一些簡單的幾何和物理問題。
7. 多元函數(shù)微分法及其應用
本章節(jié)主要教學要求：
1.理解多元函數(shù)的概念，了解點函數(shù)的概念，會求多元函數(shù)的函數(shù)值，會求二元函數(shù)  的定義域，了解二元函數(shù)的幾何圖形。
2.了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念，了解有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質。
3.理解多元函數(shù)偏導數(shù)的概念，掌握偏導數(shù)和二階偏導數(shù)的求法，了解二階以上偏導  數(shù)的求法，知道偏導數(shù)存在與函數(shù)連續(xù)的關系，了解偏導數(shù)的幾何意義。
4.理解全微分的概念，知道可微的必要與充分條件，會求多元函數(shù)的全微分。
5.掌握多元復合函數(shù)一階偏導數(shù)的求法，了解多元復合函數(shù)二階偏導數(shù)的求法。
6.了解隱函數(shù)存在定理，掌握由一個方程所確定的隱函數(shù)的一階導數(shù)或偏導數(shù)求法， 了解其二階導數(shù)或偏導數(shù)求法，了解由兩個方程所確定的隱函數(shù)的一階導數(shù)或偏導數(shù)求法。
7.了解曲線的切線與法平面方程的求法，了解曲面的切平面與法線方程的求法。
8.理解方向導數(shù)和梯度的概念，會求方向導數(shù)和梯度，知道方向導數(shù)與梯度的關系。
9.理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值的必要條件和二元函數(shù)極值的充分條件，會求二元函數(shù)的極值，會用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會求一些較簡單的   最大值和最小值的應用問題。
8. 重積分
1.本章節(jié)主要教學要求：
2.理解二重積分的概念，了解二重積分的性質。
3.掌握利用直角坐標、極坐標計算二重積分的方法，會在直角坐標系下交換二次積分  次序，會將直角坐標、極坐標下的二次積分互化。
4.會用重積分表示一些簡單的幾何量（如平面面積、立體體積、曲面面積等）和簡單  的物理量（如質量、質心、轉動慣量、引力等）。
9. 無窮級數(shù)
本章節(jié)主要教學要求：
1.理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，知道無窮級數(shù)的基本性質，掌握無窮級數(shù)  收斂的必要條件。
2.掌握幾何級數(shù)和 p -級數(shù)的收斂性。
3.掌握正項級數(shù)的比較審斂法、比較審斂法的極限形式、比值審斂法，了解正項級數(shù)  的根值審斂法，知道正項級數(shù)收斂的充分必要條件。
4.掌握交錯級數(shù)的萊布尼茲審斂法，會估計交錯級數(shù)的截斷誤差。
5.知道無窮級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念，了解絕對收斂級數(shù)的性質。
6.了解函數(shù)項級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。
7.掌握阿貝爾定理，掌握冪級數(shù)的收斂半徑和收斂區(qū)間的求法，了解收斂域的求法。
8.了解冪級數(shù)在其收斂域內的基本性質，會求簡單冪級數(shù)的和函數(shù)。
9.了解函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的充分必要條件，了解將函數(shù)展開為冪級數(shù)的直接展開法，
會利用函數(shù)e x、sin x、cos x、ln(1 ? x) 與(1? x)? 的麥克勞林展開式將一些簡單的函數(shù)間接
展開成冪級數(shù)。
線性代數(shù)教學大綱第一章 行列式
本章主要教學要求：掌握行列式的六個主要性質，會運用這些性質進行行列式的簡化。  理解代數(shù)余子式的概念，掌握行列式按行(列)展開從而降階的方法。對于確定階數(shù)(≤4 階) 的行列式，會通過化簡為三角形行列式求值，或化簡后展開、降階計算；對于簡單的不定階數(shù)的行列式(n 階)，會根據(jù)其特點計算其值。了解拉普拉斯定理，理解克拉默法則，掌握其關于齊次方程組的推論。
第二章 矩陣
本章主要教學要求：理解矩陣的概念(包括矩陣的元素、階數(shù))，掌握矩陣的表示法。了解一些常用的特殊矩陣，如行(列)矩陣、零矩陣、方陣、上(下)三角陣、單位陣等。掌握矩陣的加法、數(shù)乘、乘法、轉置運算及其運算律，理解矩陣一般不可交換和不可消去的原理。   理解線性變換和線性方程組的矩陣形式，掌握方陣的冪運算，理解對稱陣的定義及其性質。   掌握方陣可逆的定義及其充要條件，掌握用伴隨陣求逆矩陣的方法，掌握用逆矩陣解線性方程組和簡單矩陣方程的方法。理解矩陣的行(列)初等變換及矩陣的等價性概念，掌握矩陣的行初等變換。理解矩陣秩的定義，掌握用初等變換求矩陣秩的方法。理解初等矩陣的定義及其性質，掌握用初等變換求逆矩陣的方法，了解分塊矩陣的概念。
第三章 向量與線性方程組
本章主要教學要求：掌握用方程組的增廣矩陣(或系數(shù)矩陣，對于齊次方程組)作行初等  變換解方程組的一般方法。理解 n 維向量的概念，掌握向量的線性運算。理解線性組合、線性表示等概念，理解向量組線性相關、線性無關的定義和充要條件，掌握判別向量組線性相   關性的基本方法，會用定義和充要條件進行簡單的論證。理解向量組最大無關組的定義和性   質，理解向量組秩的定義，會求向量組的最大無關組。了解齊次方程組解空間的概念，掌握   基礎解系和通解的求法；會求非齊次方程組的通解。理解向量的內積、夾角等概念，理解向   量正交的概念，掌握向量組的正交化方法，了解正交陣的定義及其性質。
第四章 矩陣的特征值與特征向量
本章主要教學要求：理解方陣特征值和特征向量的定義及其主要性質，掌握特征值和特   征向量的求法。理解方陣相似變換的定義，理解方陣對角化的定義和方陣可對角化的充要條   件，掌握用正交變換將實對稱矩陣對角化的方法。

天津科技大學

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