蘇州科技大學(xué)2021年碩士研究生入學(xué)初試考試大綱

    命題學(xué)院：數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院

    考試科目名稱：高等代數(shù)

    說明：常規(guī)考試用具。

    一、考試基本要求

    《高等代數(shù)》考試大綱適用于報考數(shù)學(xué)專業(yè)碩士研究生的入學(xué)考試。本考試是為招收基礎(chǔ)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計專業(yè)碩士生而擬設(shè)的具有選拔功能的考試。 其主要目的是測試考生對高等代數(shù)最基本內(nèi)容的理解、掌握和熟練程度。要求考生熟悉高等代數(shù)的基本理論、掌握高等代數(shù)的基本方法, 具有較強(qiáng)的抽象思維能力、邏輯推理能力和運(yùn)算能力。

    二、考試內(nèi)容和考試要求

    （一）多項式

    1、數(shù)域及一元多項式的概念和運(yùn)算

    2、多項式的整除性、帶余除法、最大公因式

    3、多項式的因式分解、重因式、多項式函數(shù)及多項式的根

    4、復(fù)數(shù)域，實數(shù)域和有理數(shù)域上多項式的因式分解

    5、多元多項式及對稱多項式

    要求：

    理解一元多項式的有關(guān)概念，掌握多項式的運(yùn)算，最大公因式和有理根的求法，互素，有無重因式的判別方法，能夠熟練運(yùn)用一元多項式的基本概念、基本理論和基本方法證明多項式中的一些問題。了解多元多項式。

    （二）行列式

    1、n階行列式的定義和性質(zhì)

    2、行列式按行（列）展開的公式

    3、拉普拉斯定理

    4、克蘭姆法則

    要求：

    理解行列式的概念，行列式的性質(zhì)，掌握行列式的計算方法，克蘭姆法則的運(yùn)用。

    （三）線性方程組

    1、線性方程組的消元法

    2、n維向量的概念、運(yùn)算、性質(zhì)

    3、向量組的線性相關(guān)性

    4、矩陣的秩，線性方程組有解的判別法

    5、線性方程組的解結(jié)構(gòu)

    要求：

    能熟練運(yùn)用消元法解線性方程組，掌握矩陣的秩、向量組的秩及極大線性無關(guān)組的求法，掌握向量組的線性相關(guān)性的基本概念和結(jié)論，矩陣秩的相關(guān)概念和方法。能夠熟練利用向量組的有關(guān)知識分析討論關(guān)于線性方程組的一些問題并能正確使用有解判別法。

    （四）矩陣

    1、矩陣的運(yùn)算、性質(zhì)

    2、可逆矩陣的概念、性質(zhì)，逆矩陣的求法

    3、矩陣的分塊運(yùn)算、應(yīng)用

    4、初等矩陣與初等變換的關(guān)系，用初等變換求逆矩陣的方法

    要求：

    能熟練地進(jìn)行矩陣的運(yùn)算，熟悉矩陣乘積的行列式及秩的定理，掌握可逆矩陣的概念、性質(zhì)、初等變換和初等矩陣的關(guān)系。掌握矩陣分塊的應(yīng)用及用初等變換求逆矩陣的方法。

    （五）二次型

    1、二次型的定義及表示，二次型的標(biāo)準(zhǔn)型

    2、標(biāo)準(zhǔn)型的唯一性

    3、正定二次型的定義及判定

    要求：

    熟悉二次型的幾種表示方法，知道二次型經(jīng)過非退化線性替換仍變?yōu)槎涡鸵约扒昂髢蓚€二次型的關(guān)系，掌握二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型的方法，理解復(fù)二次型和實二次型的規(guī)范形的唯一性，掌握實二次型正定的判別方法

    （六）線性空間

    1、線性空間的定義和性質(zhì)

    2、向量組的線性相關(guān)性、基、維數(shù)和坐標(biāo)，基變換和坐標(biāo)變換

    3、子空間、子空間的交與和、直和

    4、線性空間的同構(gòu)

    要求：

    深刻理解線性空間的概念和性質(zhì)，初步了解公理化思想方法，理解基、維數(shù)、坐標(biāo)和子空間的概念，掌握基、維數(shù)、坐標(biāo)的求法，基變換公式和坐標(biāo)變換公式，維數(shù)公式的應(yīng)用，和是直和的判別方法，理解同構(gòu)的概念及相關(guān)結(jié)論。

    （七）線性變換

    1、線性變換的定義、性質(zhì)和運(yùn)算

    2、線性變換和矩陣的關(guān)系

    3、特征值、特征向量

    4、對角化問題

    5、線性變換的值域、核、不變子空間

    6、最小多項式

    要求：

    理解線性變換、相似、特征值與特征向量，值域與核以及不變子空間等概念，掌握線性變換與矩陣的關(guān)系，線性變換可對角的條件，不變子空間和線性變換矩陣化簡的關(guān)系，最小多項式的性質(zhì)及求法，最小多項式和矩陣可對角化的關(guān)系。

    （八）λ-矩陣

    1、λ-矩陣的概念，標(biāo)準(zhǔn)形

    2、不變因子，初等因子，矩陣相似的條件

    3、若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形理論推導(dǎo)

    要求：

    理解λ-矩陣的有關(guān)概念,能把λ-矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)形，理解行列式因子，不變因子，初等因子的概念，弄清它們之間的關(guān)系，掌握矩陣相似的判別條件，會求行列式因子，不變因子，初等因子，若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形。

    （九）歐氏空間

    1、歐氏空間的定義及基本性質(zhì)

    2、標(biāo)準(zhǔn)正交基和正交化方法

    3、歐氏空間的同構(gòu)

    4、正交變換與正交矩陣

    5、對稱變換與對稱矩陣

    6、最小二乘法，酉空間簡介

    要求：

    理解歐氏空間、正交變換、對稱變換及酉空間的概念，掌握標(biāo)準(zhǔn)正交基的求法，實對稱矩陣對角化方法，掌握正交變換，對稱變換的判別方法，了解最小二乘法及酉空間的相關(guān)結(jié)論

    三、考試基本題型和考試方式

    主要題型可能有：判斷題、填空題、計算題、證明題、應(yīng)用題等。考試方式為閉卷、筆試?？荚嚂r間為180分鐘。試卷滿分為150分。

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