2021上海理工大學(xué)831高等代數(shù)研究生考試大綱 正文

專業(yè)課《高等代數(shù)》考研大綱和參考書目
 
參考教材及參考書：北京大學(xué)數(shù)學(xué)系前代數(shù)小組編，2013：《高等代數(shù)》（第四版），高等教育出版社。
 
課程內(nèi)容（打＊部分內(nèi)容或章節(jié)要求重點(diǎn)掌握）
多項(xiàng)式：
    ＊整除概念，帶余除法理論；
最大公因式定義及求法；
＊多項(xiàng)式互素的概念與性質(zhì)；
＊因式分解定理和不可約多項(xiàng)式的性質(zhì)；
＊復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解；
       行列式：
＊行列式的定義；
＊行列式性質(zhì)及按行按列展開法則，并用此計(jì)算行列式；
Laplace定理；
＊克拉默法則；
       ＊線性方程組：
            消元法；
            向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)性，向量組的極大無關(guān)組與秩；
            矩陣的秩及求法；
            線性方程組有解判別定理；
            線性方程組基礎(chǔ)解系、通解及解的結(jié)構(gòu)；
       ＊矩陣：
            矩陣線性運(yùn)算，乘法，轉(zhuǎn)置及運(yùn)算律；
矩陣初等變換，初等矩陣；
逆矩陣及其存在條件，求逆矩陣；
分塊矩陣運(yùn)算；
        二次型：
＊二次型的矩陣表示；
矩陣合同
            ＊可逆線性變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形；
              慣性定理；
            ＊正定二次型判定；
        線性空間
               線性空間的定義與性質(zhì)；
             ＊有限維線性空間的基與維數(shù)，向量坐標(biāo)；
             ＊基變換與坐標(biāo)變換；
＊子空間定義，維數(shù)與基、維數(shù)公式；
＊子空間的交與和，直和；
線性空間的同構(gòu)；
        ＊線性變換
             線性變換的運(yùn)算，線性變換的矩陣
             特征值與特征向量；
             可對角化問題；
             線性變換的值域與核；
             不變子空間；
             若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的概念；
             最小多項(xiàng)式；
       -矩陣
              -矩陣等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形；
             ＊不變因子、行列式因子、初等因子的概念及其關(guān)系；
             ＊矩陣相似的條件；
               若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形理論及求法；
        歐氏空間
               內(nèi)積與歐氏空間定義，度量矩陣；
               施密特正交化方法求標(biāo)準(zhǔn)正交基；
             ＊正交變換，對稱變換；
             ＊對稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形及用正交線性替換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形；
               酉空間介紹。

上海理工大學(xué)

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