專業(yè)課《數(shù)學(xué)分析》考研大綱和參考書目

    參考教材：《數(shù)學(xué)分析》(第四版)，華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編，高等教育出版社

    參考用書：

    一．《數(shù)學(xué)分析》(第三版)，陳傳璋等編（復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系），高等教育出版社；

    二．《數(shù)學(xué)分析》，復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系編，復(fù)旦大學(xué)出版社；

    三．《數(shù)學(xué)分析》，徐森林，薛春華編，清華大學(xué)出版社

    課程的基本內(nèi)容要求

    1、了解實數(shù)的概念和性質(zhì)。理解數(shù)集的概念及確界原理。熟練掌握函數(shù)的概念、熟練掌握具有某種特性的函數(shù)：有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性，熟練掌握復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)與初等函數(shù)的概念。

    2、理解數(shù)列極限的概念，熟練掌握收斂數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列極限存在的條件。理解函數(shù)極限的概念，熟練掌握函數(shù)極限的性質(zhì)，理解函數(shù)極限存在的條件。掌握函數(shù)極限與數(shù)列極限之間的關(guān)系，函數(shù)極限的柯西準(zhǔn)則。掌握無窮大量與無窮小量的概念及相關(guān)性質(zhì)。理解函數(shù)連續(xù)、一致連續(xù)的概念，熟練掌握連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)以及初等函數(shù)的連續(xù)性。

    3、理解導(dǎo)數(shù)的概念，熟練掌握求導(dǎo)法則，理解參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及高階導(dǎo)數(shù)并掌握其求法。掌握微分的概念及相關(guān)計算。

    4、理解Roll，Lagrange，Cauchy中值定理，熟練掌握函數(shù)單調(diào)性的判定方法。熟練掌握求不定式極限的法則。掌握Taylor公式。理解函數(shù)極值與最值的概念，掌握函數(shù)極值的判別方法與最值的計算。理解函數(shù)凸性與拐點的概念并掌握其判定方法。會畫典型初等函數(shù)的圖像。

    5、理解實數(shù)集完備性的基本定理。

    6、理解不定積分的概念，熟練掌握基本積分公式。掌握換元積分和分部積分法。掌握有理函數(shù)及可化為有理函數(shù)的簡單無理函數(shù)與三角函數(shù)有理式等的不定積分計算。

    7、理解定積分的概念，了解相關(guān)的物理與幾何模型。熟練掌握牛頓——萊布尼茨公式。掌握可積的必要條件，可積的充要條件。掌握定積分的性質(zhì)及積分中值定理。熟練掌握微積分學(xué)基本定理和定積分的計算。了解泰勒公式的積分型余項。

    8、掌握定積分在幾何和簡單物理問題中應(yīng)用的基本方法，能夠應(yīng)用定積分計算平面圖形的面積、特殊空間立體的體積、平面曲線的弧長、功、壓力、引力等。

    9、理解反常積分的概念，了解無窮積分和瑕積分的性質(zhì)，掌握收斂性的判別方法。

    10、熟練掌握數(shù)項級數(shù)收斂、絕對收斂與條件收斂的概念、性質(zhì)，熟練掌握正項級數(shù)收斂的判別法，掌握一般項級數(shù)收斂的判別法，了解無窮乘積的概念及簡單性質(zhì)。

    11、掌握一致收斂的概念與和性質(zhì)，熟練掌握函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的判別方法。

    12、熟練掌握冪級數(shù)與Taylor級數(shù)的概念、冪級數(shù)的收斂域與和函數(shù)的分析性質(zhì)，熟練掌握常用基本初等函數(shù)的冪級數(shù)展開。

    13、掌握函數(shù)展開為傅立葉級數(shù)的充分條件，能夠熟練地將以2或2l為周期的函數(shù)展開為傅立葉級數(shù)。

    14、掌握含參變量積分的概念、性質(zhì)及判別法。

    15、理解平面點集與多元函數(shù)的概念，了解二元函數(shù)的幾何意義。掌握二元函數(shù)極限與連續(xù)的概念以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

    16、理解可微性、全微分和偏導(dǎo)數(shù)的概念，熟練掌握多元函數(shù)可微的條件、幾何意義及其應(yīng)用。熟練掌握多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則及全微分的求法。掌握高階偏導(dǎo)數(shù)的概念及求法，了解多元函數(shù)中值定理和泰勒公式。理解多元函數(shù)極值的概念；掌握多元函數(shù)極值的求法。

    17、理解隱函數(shù)的概念，隱函數(shù)存在的條件。掌握隱函數(shù)定理和求導(dǎo)方法。了解隱函數(shù)組的概念及隱函數(shù)組定理。掌握幾何應(yīng)用。理解條件極值的概念，掌握Lagrange乘數(shù)法。

    18、理解兩類曲線積分的概念，熟練掌握兩類曲線積分的性質(zhì)及計算方法。

    19、掌握重積分的概念、性質(zhì)及計算(重點為二重與三重積分)，掌握Green公式，曲線積分與路徑無關(guān)的條件。

    20、掌握兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及計算方法，熟練掌握Gauss公式與Stokes公式。

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