2021上海財經(jīng)大學(xué)813高等代數(shù)研究生考試大綱

發(fā)布時間：2020-11-26 編輯：考研派小莉推薦訪問：

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2021上海財經(jīng)大學(xué)813高等代數(shù)研究生考試大綱正文

813高等代數(shù)

一、多項式

1.數(shù)域

1.1理解數(shù)域的概念.

1.2會判別數(shù)集是否是數(shù)域.

2.一元多項式

2.1理解一元多項式的概念,知道多項式次數(shù)的定義.

2.2掌握多項式的基本運算及運算前后次數(shù)的關(guān)系.

2.3理解兩個多項式相等的概念.

3.整除

3.1掌握多項式的帶余除法.

3.2理解整除的概念.

3.3掌握整除的一些基本性質(zhì).

4.最大公因式

4.1理解最大公因式的概念及基本結(jié)論.

4.2掌握求最大公因式的計算方法(輾轉(zhuǎn)相除法).

4.3理解多項式互素的概念及基本性質(zhì).

5.因式分解

5.1清楚不可約多項式的定義及其基本性質(zhì).

5.2理解因式分解定理.

5.3理解重因式的概念,會利用導(dǎo)數(shù)判別多項式是否有重因式的方法.

6.多項式函數(shù)

6.1理解多項式函數(shù)的概念.

6.2掌握余數(shù)定理.

6.3理解多項式根(零點)及重根的概念.

6.4知道根與多項式相等的結(jié)論.

7.復(fù)系數(shù)與實系數(shù)多項式的因式分解

7.1清楚代數(shù)基本定理.

7.2領(lǐng)會復(fù)系數(shù)多項式的因式分解.

7.3清楚實系數(shù)多項式的共軛復(fù)根問題.

7.4領(lǐng)會實系數(shù)多項式的因式分解.

8.有理系數(shù)多項式

8.1清楚有理系數(shù)多項式與整系數(shù)多項式的關(guān)系.

8.2理解本原多項式的概念及其基本性質(zhì).

8.3掌握整系數(shù)多項式有有理根的必要條件.

8.4掌握Eisenstein判別法.二、行列式

1.排列與逆序

1.1理解排列與逆序的概念.

1.2理解對換的概念與性質(zhì).

2.n階行列式的定義及基本性質(zhì)

2.1掌握二階三階行列式的特征及其對角線計算法.

2.2理解n階行列式的定義（三個特征）.

2.3會利用行列式的定義計算一些特殊行列式的值.

2.4掌握行列式的基本性質(zhì).

3.行列式的展開

3.1理解行列式的余子式與代數(shù)余子式的概念.

3.2理解行列式按一行一列展開的公式.

3.3清楚范德蒙行列式的結(jié)論,并由此計算一些范德蒙型行列式的值.

4.行列式的計算

4.1掌握一些行列式的基本計算方法:三角化,展開法，遞推法，歸納法,加邊法，析因子法.

5.克萊姆法則

5.1掌握克萊姆法則.

5.2克萊姆法則應(yīng)用于齊次方程組的一些結(jié)論.

6.Laplace展開定理

6.1理解k階子式及其余子式代數(shù)余子式的概念.

6.2理解Laplace展開定理.

6.3掌握行列式乘法規(guī)則(聯(lián)系矩陣乘法的行列式).三、矩陣

1.矩陣及其基本運算

1.1理解矩陣的概念,理解矩陣相等的定義.

1.2了解一些特殊矩陣的結(jié)構(gòu),如方矩陣,三角形矩陣,對角矩陣,數(shù)量矩陣,單位矩

陣,零矩陣.

1.3掌握矩陣的基本運算及其運算規(guī)則.

1.4清楚矩陣的冪與矩陣多項式的定義.

1.5清楚矩陣的轉(zhuǎn)置及性質(zhì),理解對稱矩陣與反對稱矩陣的定義.

2.矩陣的逆

2.1理解逆矩陣的定義及其基本性質(zhì).

2.2清楚矩陣行列式的定義及矩陣相乘行列式的結(jié)論(乘法規(guī)則).

2.3理解伴隨矩陣的定義及性質(zhì).

2.4掌握逆矩陣存在的充分必要條件.

2.5知道用伴隨矩陣表示逆矩陣的公式.

3.矩陣的初等變換與初等矩陣

3.1掌握矩陣的初等變換定義.

3.2掌握線性方程組的矩陣描述以及高斯消元法與初等變換的關(guān)系.

3.3理解消元法的基本思想，掌握解方程組的消元法.

3.4理解矩陣等價的定義及性質(zhì).理解矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形.

3.5掌握初等矩陣的定義及其結(jié)構(gòu).

3.6掌握初等矩陣的性質(zhì)及其與初等變換的關(guān)系.

3.7掌握用初等變換求逆矩陣的方法.

4.矩陣的分塊

4.1掌握矩陣的分塊表示,理解矩陣分塊的目的.

4.2掌握分塊矩陣的基本運算.

4.3掌握塊初等變換在2×2分塊矩陣上的應(yīng)用.

四、線性方程組

1.n維向量

1.1理解n維向量的概念，習(xí)慣于向量的列形式表示.

1.2掌握向量的基本運算.

2.向量的線性相關(guān)性

2.1理解向量組的線性組合概念，理解向量（組）的線性表示概念以及向量組等價概念；清楚向量的線性表示與線性方程組是否有解的等價關(guān)系.

2.2理解向量組的線性相關(guān)性概念，清楚向量組的線性相關(guān)性與齊次線性方程組是否有非零解的等價關(guān)系.

2.3理解向量組的極大線性無關(guān)組與秩的概念，并熟知有關(guān)結(jié)論.

3.矩陣的秩

3.1理解矩陣秩的概念以及關(guān)于子式的一個充分必要條件.

3.2理解秩在初等變換下的不變性，掌握用初等變換法求矩陣的秩以及向量組秩.

3.3熟知矩陣秩的有關(guān)結(jié)論.

4.線性方程組

4.1熟知線性方程組的矩陣形式和向量形式，掌握方程組有解判別定理以及判別解各種情形的條件.

4.2理解線性方程組解的結(jié)構(gòu)與齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的概念.

4.3掌握用初等變換方法，求齊次與非齊次線性方程組的通解（包括含參數(shù)的方程組）.五、線性空間

1.線性空間

1.1理解線性空間的定義,特別是對于數(shù)域的理解和加法與數(shù)乘兩種運算的理解以及關(guān)于運算的封閉性的理解.

1.2熟知一些常見的線性空間，如Rn空間，Rm?n空間，Rn[x]空間，C[a,b]空間等，清楚這些空間上所定義的線性運算.

1.3熟知線性空間上的一些簡單性質(zhì).

2.基與維數(shù)

2.1理解線性空間基與維數(shù)的概念,注重其本質(zhì)的含義.

2.2熟知一些常見線性空間中的一組基和它們的維數(shù).

2.3理解坐標(biāo)的概念，清楚坐標(biāo)與Rn空間中元素在概念上的區(qū)別與形式上的一致性.

2.4理解過度矩陣的概念，熟知基變換公式與坐標(biāo)變換的公式.

3.線性子空間

3.1理解線性子空間的概念以及關(guān)于線性運算的封閉性的本質(zhì).

3.2熟知由一組向量張成的子空間概念及有關(guān)性質(zhì).

3.3理解子空間的交與和的概念，熟知維數(shù)公式.

3.4理解子空間直和的概念，熟知子空間構(gòu)成直和的各充分必要條件.

4.同構(gòu)

4.1了解映射的概念，1-1對應(yīng)的概念以及逆映射的概念.

4.2了解同構(gòu)映射與線性空間同構(gòu)的概念.

4.3了解n維線性空間到Rn的同構(gòu)映射與同構(gòu)關(guān)系.六、線性變換

1.線性變換及基本運算

1.1理解線性變換的概念,熟知一些線性變換的基本性質(zhì).

1.2熟知線性變換的線性運算與乘法運算及其運算規(guī)律.

2.線性變換的矩陣

2.1理解線性變換的矩陣概念,理解線性變換與矩陣的1-1對應(yīng)關(guān)系，以及運算間的對應(yīng)關(guān)系.

2.2會寫出一些線性變換在一組基下的矩陣.

2.3清楚線性變換在不同基下的矩陣相似性關(guān)系.

3.特征值與特征向量

3.1理解線性變換和矩陣的特征值特征向量概念,清楚線性變換與對應(yīng)矩陣的特征值特征向量的關(guān)系.

3.2掌握計算特征值與特征向量的方法.

3.3熟知特征值特征向量的基本性質(zhì)，清楚矩陣的相似性在特征值問題上的不變性.

3.4了解Hamilton-Caylay定理的結(jié)論，了解矩陣最小多項式的概念及其基本性質(zhì).

4.相似于對角矩陣

4.1熟知矩陣相似于對角矩陣的條件，知道對應(yīng)于線性變換的結(jié)論.

4.2清楚特征子空間的概念及特征值的代數(shù)重數(shù)與幾何重數(shù)的概念.

5.不變子空間

5.1理解線性變換（矩陣）值域與核的概念,清楚有關(guān)性質(zhì)與結(jié)論.

5.2理解線性變換（矩陣）不變子空間的概念，了解有關(guān)性質(zhì)與結(jié)論.七、內(nèi)積空間

1.內(nèi)積空間

1.1理解內(nèi)積空間的概念,理解向量內(nèi)積的定義及其基本性質(zhì).理解向量長度和距離的概念.

1.2熟知一些常見的內(nèi)積空間，如Rn空間，Rn[x]空間等，清楚這些空間上所定義的內(nèi)積.

2.標(biāo)準(zhǔn)正交基

2.1理解向量正交的概念；理解（標(biāo)準(zhǔn)）正交基的概念.

2.2掌握向量組的標(biāo)準(zhǔn)正交化過程.

3.正交變換

3.1理解正交矩陣的概念及其性質(zhì).

3.2理解正交變換的概念及其性質(zhì).

4.正交補(bǔ)空間

4.1理解子空間的正交補(bǔ)空間的概念.

4.2熟知正交補(bǔ)空間的性質(zhì).

4.3了解正交投影的概念.

4.4了解最小二乘問題的提法以及一些理論結(jié)果.

5.實對稱矩陣的相似性

5.1了解對稱變換的概念.

5.2熟知實對稱矩陣的特征值特征向量的性質(zhì).

5.3掌握對稱矩陣正交相似于對角矩陣的計算方法.

6.酉空間

6.1了解酉空間的概念.

6.2了解酉變換的概念.

6.3了解Hermite矩陣的概念及其特征值的性質(zhì).八、二次型

1.二次型的概念

1.1掌握二次型及其矩陣表示.

1.2理解二次型的非退化線性替換與矩陣合同的聯(lián)系.

2.二次型的標(biāo)準(zhǔn)形

2.1清楚二次型標(biāo)準(zhǔn)形的概念及其結(jié)論，并知道矩陣語言的描述.

2.2掌握化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法，配方法，初等變換法，正交變換法.

3.二次型的規(guī)范形

3.1理解二次型的慣性定理，清楚規(guī)范形的唯一性.

4.正定性

4.1理解正（半）定二次型與正（半）定矩陣等概念.

4.2掌握正定矩陣的幾個充分必要條件及判別方法.九、?--矩陣

1.?-矩陣

1.1清楚?-矩陣的定義以及有關(guān)基本性質(zhì).

1.2理解?-矩陣可逆的條件.

2.?-矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形

2.1掌握?-矩陣的初等變換（初等矩陣）以及等價的概念.

2.2清楚?-矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形定義，并且掌握化?-矩陣為標(biāo)準(zhǔn)形的方法.

3.三個因子

3.1理解?-矩陣的行列式因子、不變因子的概念以及相互關(guān)系.

3.2理解行列式因子、不變因子的不變性性質(zhì).

3.3理解特征矩陣的的概念以及矩陣初等因子概念.

3.4理解上述三種因子的相互關(guān)系，并掌握計算這些因子的方法.

3.5清楚矩陣相似的條件.

4.Jordan標(biāo)準(zhǔn)形

4.1清楚矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形以及矩陣相似Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的結(jié)論.

4.2掌握利用初等因子寫出矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形.十、雙線性函數(shù)

1.對偶空間

1.1了解線性函數(shù)的概念.

1.2了解對偶基與對偶空間的概念.

2.雙線性函數(shù)

2.1了解雙線性函數(shù)的概念.

2.2了解雙線性函數(shù)與矩陣的對應(yīng)關(guān)系.

2.3了解對稱雙線性函數(shù)的概念.

上海財經(jīng)大學(xué)

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