2021遼寧大學(xué)數(shù)學(xué)分析專業(yè)研究生考試大綱 正文

《數(shù)學(xué)分析》考試大綱

1.實數(shù)集與函數(shù)
1.1 掌握實數(shù)概念及其基本性質(zhì)。掌握實數(shù)絕對值的概念和有關(guān)的不等式。
1.2 掌握鄰域概念, 掌握確界定理。
1.3 掌握函數(shù)的概念及各種表示方法,掌握復(fù)合函數(shù)和反函數(shù)的概念。
1.4 掌握有界函數(shù)與無界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、奇函數(shù)和偶函數(shù)、周期函數(shù)等概念。
1.5 掌握六類基本初等函數(shù)的定義和性質(zhì)。
1.6 掌握常用的幾個非初等函數(shù)，如符號函數(shù)，狄利克雷函數(shù)等。
2. 數(shù)列極限
2.1 掌握數(shù)列極限的的定義, 會使用“語言”證明數(shù)列的極限。
2.2 正確理解和掌握收斂數(shù)列的性質(zhì)。
2.3 掌握單調(diào)有界原理,致密性定理及Cauchy收斂準(zhǔn)則。
3. 函數(shù)極限
3.1 掌握函數(shù)極限的和定義。
3.2 掌握函數(shù)極限的性質(zhì)。
3.3 掌握函數(shù)極限存在的條件, 掌握歸結(jié)原則及柯西準(zhǔn)則。
3.4 掌握重要極限  和  及其應(yīng)用。
3.5 正確理解和掌握無窮大和無窮小的概念及無窮小的階。
4. 函數(shù)的連續(xù)性
4.1 掌握連續(xù)函數(shù)的概念, 掌握間斷點及其分類。
4.2 掌握連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì),掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。
4.3 掌握反函數(shù)的連續(xù)性,掌握函數(shù)的一致連續(xù)性。
4.4 掌握初等函數(shù)在其定義域上的連續(xù)性。
5. 導(dǎo)數(shù)與微分
5.1 掌握導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義。
5.2 掌握求導(dǎo)法則,掌握參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則, 掌握高階導(dǎo)數(shù)的求法。          
5.3 掌握微分的概念及其幾何意義。
5.4 掌握微分的運算法則,了解高階微分,了解微分在近似計算中的應(yīng)用。
6. 微分中值定理及其應(yīng)用
6.1 熟練掌握中值定理的條件、結(jié)論和證明方法。
6.2 掌握不定式極限的求法,熟練掌握洛必達(dá)法則及其應(yīng)用。
6.3 掌握泰勒公式，掌握用多項式逼近函數(shù)的思想。
6.4 會分析函數(shù)的性態(tài),會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，會判斷函數(shù)的凸性和拐點,
會較完善地作出函數(shù)的圖形。
7. 實數(shù)的完備性
7.1 理解區(qū)間套概念，能熟練使用區(qū)間套定理。
7.2 掌握聚點概念及各種等價定義，能熟練使用聚點定理。
7.3 理解（開）覆蓋的定義并且會用集合術(shù)語表達(dá)，體會如何構(gòu)造開覆蓋并且會用開覆蓋定理。
7.4 知曉實數(shù)完備性的六種等價說法及其證明。
8. 原函數(shù)與不定積分
8.1 掌握原函數(shù)定義及唯一性（不計常數(shù)）。
8.2 掌握不定積分的定義、性質(zhì)。
8.3 熟練使用換元公式和分部積分公式。
8.4 了解有理函數(shù)不定積分的計算方法。
8.5 了解某些其它類型不定積分的計算方法。
9. 定積分（Riemann積分）
9.1 深入理解定積分概念及其產(chǎn)生背景。
9.2 熟練掌握可積性的判別準(zhǔn)則及可積函數(shù)類。
9.3 熟練掌握定積分的性質(zhì)及積分中值定理。
9.4 重點掌握微積分學(xué)基本定理和Newton-Leibniz公式。
9.5 熟練使用定積分工具解決幾何、物理和學(xué)科的問題。
10. 反常積分
10.1 深入理解反常積分概念及其產(chǎn)生背景。
10.2 熟練使用反常積分的收斂判別法。
11. 數(shù)項級數(shù)
11.1 深入理解數(shù)項級數(shù)的概念及其產(chǎn)生背景。
11.2 直觀理解絕對收斂和條件收斂概念。
11.3 熟練使用正項級數(shù)和一般項級數(shù)的收斂判別法。
12. 函數(shù)列、函數(shù)項級數(shù)和冪級數(shù)
12.1 深入理解逐點收斂和一致收斂概念，重點在一致收斂。
12.2 熟練使用一致收斂的Cauchy準(zhǔn)則及收斂判別法。
12.3 掌握一致收斂函數(shù)列（函數(shù)項級數(shù)）之極限函數(shù)（和函數(shù)）的分析性質(zhì)，即連續(xù)性、可積性、可微性。
12.4 能熟練求出一個冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂域。
12.5 熟知冪級數(shù)在其收斂區(qū)間上的性質(zhì)(內(nèi)閉一致收斂性、連續(xù)性、逐項可積和逐項可導(dǎo)性）。
12.6 掌握將光滑函數(shù)展為冪級數(shù)的基本方法。
13. 傅里葉（Fourier）級數(shù)
13.1 深入理解傅里葉級數(shù)及其產(chǎn)生的物理背景。
13.2 會做一個可積函數(shù)的傅里葉級數(shù)。
13.3 掌握三角函數(shù)系的正交性、Bessel不等式和Riemann-Lebesgue引理。
13.4 了解有關(guān)傅里葉級數(shù)收斂性的一些結(jié)果。
14. 多元函數(shù)的極限與連續(xù)
14.1 掌握平面點集的一些概念: 鄰域、內(nèi)點、界點、聚點、區(qū)域、閉區(qū)域、有界區(qū)域、無界區(qū)域等。
14.2 掌握二元函數(shù)和二元函數(shù)極限的定義,弄清二重極限與累次極限的區(qū)別及其聯(lián)系。
14.3 掌握二元連續(xù)函數(shù)的定義以及性質(zhì)。
15. 多元函數(shù)微分學(xué)
15.1 理解可微性的條件、幾何意義及應(yīng)用。
15.2 熟練計算偏導(dǎo)數(shù)和高階偏導(dǎo)數(shù)。
15.3 復(fù)合函數(shù)微分法,包括復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則及復(fù)合函數(shù)的全微分。
15.4 了解方向?qū)?shù)與梯度的定義。
15.5 會運用泰勒公式解決極值問題。
16. 隱函數(shù)定理及其應(yīng)用
16.1 理解隱函數(shù)的概念及存在性的條件。
16.2 了解隱函數(shù)組的概念及定理并掌握幾何運用。
16.3 掌握條件極值的求法。
17.含參變量的積分
17.1 掌握含參量正常積分及反正常積分。
17.2 掌握一致收斂的判別法。
17.3 理解歐拉積分并會應(yīng)用。
18. 重積分
18.1 掌握二重積分的概念，理解二重積分的可積函數(shù)類與性質(zhì)。
18.2 掌握二重積分的計算，掌握二重積分的變量變換和二重積分的應(yīng)用。
18.3 掌握三重積分的概念。
18.4 掌握三重積分的計算，掌握三重積分的變量變換和應(yīng)用。
19. 曲線積分與曲面積分
19.1 正確理解第一型曲線積分和第二型曲線積分的概念。
19.2 掌握第一型曲線積分和第二型曲線積分的計算。
19.3 會運用格林公式和積分與路徑無關(guān)的條件解決問題。
19.4 正確理解第一型曲面積分和第二型曲面積分的概念。
19.5 掌握第一型曲面積分和第二型曲面積分的計算。
19.6 會運用高斯公式和斯托克斯公式。
19.7 了解場的概念和各種場。

遼寧大學(xué)

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