2021昆明理工大學(xué)數(shù)學(xué)分析專業(yè)研究生考試大綱 正文

 
第一部分  考試形式和試卷結(jié)構(gòu)
一、試卷滿分及考試時(shí)間
試卷滿分為150 分，考試時(shí)間為180 分鐘．
二、答題方式
答題方式為閉卷、筆試．
三、試卷的內(nèi)容結(jié)構(gòu)
極限論                       約占20％
單變量微積分學(xué)               約占30％
多變量微積分學(xué)               約占30％
級數(shù)論                       約占20％
四、試卷的題型結(jié)構(gòu)
計(jì)算題                       約75分
證明題                       約60分
綜合題                       約15分
合計(jì) 150分
 
 
 
第二部分  考察的知識及范圍
一、極限論
（1）掌握數(shù)列極限，函數(shù)極限定義，會用數(shù)列極限、函數(shù)極限的定義證明有關(guān)極限問題；掌握函數(shù)有界、無界的定義，并會用其證明給定函數(shù)在給定區(qū)間上的有界性、無界性；掌握實(shí)數(shù)集上、下確界的定義。
（2）掌握收斂數(shù)列的性質(zhì)及運(yùn)算，掌握單調(diào)有界數(shù)列收斂定理、迫斂性法則、柯西收斂原理、歸結(jié)原則及應(yīng)用；掌握函數(shù)極限的性質(zhì)及運(yùn)算，會用兩個(gè)重要極限來處理極限問題。
（3）掌握無窮小量和無窮大量的定義、性質(zhì)和關(guān)系；掌握無窮小量階的比較。
（4）理解和掌握連續(xù)函數(shù)的定義和運(yùn)算，解決有關(guān)函數(shù)連續(xù)性問題；掌握不連續(xù)點(diǎn)的類型；掌握單側(cè)極限的概念。
（5）掌握和應(yīng)用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最大最小值性、有界性、介值性、一致連續(xù)性）；掌握初等函數(shù)的連續(xù)性，理解復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，反函數(shù)的連續(xù)性。
（6）掌握實(shí)數(shù)連續(xù)性定理：閉區(qū)間套定理、單調(diào)有界定理、柯西收斂準(zhǔn)則、確界存在定理、聚點(diǎn)定理、有限覆蓋定理。
（7）理解平面點(diǎn)集的基本概念，了解矩形套定理，致密性定理、有限覆蓋定理；掌握二元函數(shù)的極限，二次極限，連續(xù)性概念及計(jì)算；掌握有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。
 
二、單變量微積分學(xué)
（1）理解和掌握導(dǎo)數(shù)與微分概念和幾何意義；能熟練地運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和求導(dǎo)法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(特別是復(fù)合函數(shù))。
（2）理解可導(dǎo)性、連續(xù)性與可微性的關(guān)系；掌握導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用，微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用；掌握高階導(dǎo)數(shù)的求法。
（3）掌握中值定理的內(nèi)容、證明及其應(yīng)用；能熟練地運(yùn)用羅必達(dá)法則求不定式的極限；掌握泰勒公式并能應(yīng)用其解決近似計(jì)算、求極限等相關(guān)問題。
（4）掌握函數(shù)圖形特征(單調(diào)性、極值與最值、凹凸性、拐點(diǎn)及漸近線)的判定及描繪函數(shù)圖形。
（5）掌握原函數(shù)和不定積分概念；熟練掌握換元積分法、分部積分法、有理式積分法和三角有理式積分法，并能利用它們來求函數(shù)的積分；會計(jì)算簡單的無理函數(shù)的積分。
（6）理解定積分概念，掌握函數(shù)可積的條件；熟悉一些可積分函數(shù)類； 掌握定積分與可變上限積分的性質(zhì)；能較好地運(yùn)用牛頓-萊布尼茲公式，換元積分法，分部積分法計(jì)算定積分。
（7）掌握定積分的幾何應(yīng)用；掌握定積分在物理上的應(yīng)用；掌握"微元法"。
（8）掌握廣義積分的收斂、發(fā)散、絕對收斂與條件收斂等概念；.能用收斂性判別法判斷某些反常積分的收斂性。
（9）掌握含參變量定積分的性質(zhì)及計(jì)算。
 
三、 多變量微積分學(xué)
（1）掌握偏導(dǎo)數(shù)、全微分、方向?qū)?shù)、高階偏導(dǎo)數(shù)、高階全微分等概念；了解多元函數(shù)可微、可導(dǎo)及連續(xù)的關(guān)系；掌握復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則、由方程（組）所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法則。
（2）掌握隱函數(shù)的存在性定理；會求曲線的切線方程和法平面方程，曲面的切平面方程和法線方程；會求多元函數(shù)的極值（條件極值和無條件極值）。
（3）掌握二重、三重積分的概念和性質(zhì)；會計(jì)算重積分；會求圖形的面積，體積。
（4）掌握兩類曲線積分的概念及計(jì)算；掌握兩類曲線積分的性質(zhì)；掌握兩類曲線積分的關(guān)系；掌握Green公式并會用其計(jì)算有關(guān)積分 。
（5）掌握兩類曲面積分的概念及計(jì)算；掌握兩類曲面積分的性質(zhì)； 掌握兩類曲面積分之間的關(guān)系；掌握Gauss公式、Stokes公式并會用其計(jì)算有關(guān)積分 。
 
四、級數(shù)論
（1）理解數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂，發(fā)散，絕對收斂與條件收斂等概念；掌握數(shù)項(xiàng)級數(shù)的基本性質(zhì)；熟練應(yīng)用正項(xiàng)級數(shù)斂散性判別法（比較判別法、比式判別法、根式判別法和積分判別法）與任意項(xiàng)級數(shù)的斂散性判別法判斷級數(shù)的斂散性；能熟練應(yīng)用幾何級數(shù)、調(diào)和級數(shù)與p級數(shù)的斂散性。
（2）掌握函數(shù)項(xiàng)級數(shù)（函數(shù)序列）收斂及一致收斂性概念；掌握一致收斂級數(shù)的性質(zhì)，能夠比較熟練地運(yùn)用判斷一致收斂性的判別法（Cauchy收斂準(zhǔn)則， Weierstrass判別法，Abel判別法和Dirichlet判別法）判斷函數(shù)項(xiàng)級數(shù)（函數(shù)序列）的一致收斂性。
（3）掌握冪級數(shù)，收斂半徑、收斂域、和函數(shù)等概念；會求冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域；掌握冪級數(shù)的性質(zhì)并能求和函數(shù)；會把函數(shù)展開成冪級數(shù)。
  （4）掌握三角函數(shù)系的正交性與周期函數(shù)的Fourier級數(shù)的概念和性質(zhì)；掌握Fourier級數(shù)收斂性判別法；能將函數(shù)展開成Fourier級數(shù)。
 

昆明理工大學(xué)

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