2021湖北師范大學(xué)高等代數(shù)專業(yè)研究生考試大綱 正文

一、考查目標(biāo)
《高等代數(shù)》考試是為招收數(shù)學(xué)各專業(yè)碩士研究生而設(shè)置的業(yè)務(wù)水平考試。目的是測試考生對高等代數(shù)基礎(chǔ)知識的掌握程度和應(yīng)用相關(guān)知識解決問題的能力和熟練程度。要求考生理解高等代數(shù)的基本概念和基本理論，掌握高等代數(shù)的基本思想和方法，具有抽象思維能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用所學(xué)的知識分析問題和解決問題的能力。
二、考試形式與試卷結(jié)構(gòu)
（一）試卷成績及考試時(shí)間
本試卷滿分為150分，考試時(shí)間為180分鐘。
（二）答題方式
答題方式為閉卷、筆試。
（三）試卷題型，題量，結(jié)構(gòu)
題型：計(jì)算題，證明題。
題量：11-13大題。
結(jié)構(gòu)：計(jì)算與證明的綜合。
（四）主要參考書目
北京大學(xué)數(shù)學(xué)系編，《高等代數(shù)》，高等教育出版社， 2013版
三、考查范圍
（一）多項(xiàng)式
整除理論：整除性；帶余除法；最大公因式；互素的概念與性質(zhì)。
因式分解理論：不可約多項(xiàng)式；因式分解定理；重因式；實(shí)系數(shù)與復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解；有理系數(shù)多項(xiàng)式不可約的判定。
根的理論：多項(xiàng)式的根；有理系數(shù)多項(xiàng)式的有理根求法。
（二）行列式
行列式的定義、性質(zhì)；行列式的子式、代數(shù)余子式及展開定理；行列式的計(jì)算方法。
（三）向量和矩陣
向量：向量的線性組合和線性表示；向量組的等價(jià)；向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)；向量組的極大線性無關(guān)組；向量組的秩；向量組的秩與矩陣的秩之間的關(guān)系。
矩陣：矩陣的概念；矩陣的基本運(yùn)算；矩陣的轉(zhuǎn)置；伴隨矩陣；初等變換與初等矩陣；逆矩陣的概念和性質(zhì)；矩陣可逆的充分必要條件；分塊矩陣；矩陣的秩；矩陣的等價(jià)、合同、相似；矩陣的對角化。
（四）線性方程組
克萊姆（Cramer）法則；齊次線性方程組有非零解的充分必要條件；非齊次線性方程組有解的充分必要條件；線性方程組解的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)；齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解；解空間及其維數(shù)；非齊次線性方程組的通解。
（五）二次型
二次型及其矩陣表示；二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與合同變換；復(fù)數(shù)域與實(shí)數(shù)域上二次型的標(biāo)準(zhǔn)形、規(guī)范形；慣性定理；二次型及實(shí)對稱矩陣的正定性。
（六）線性空間
線性空間的概念與基本性質(zhì)；線性空間的維數(shù)、基與向量的坐標(biāo)；基變換與坐標(biāo)變換；過渡矩陣；線性子空間及其運(yùn)算；線性空間的同構(gòu)。
（七）線性變換
線性變換的概念、性質(zhì)和運(yùn)算；線性變換的矩陣表示；線性變換（矩陣）的特征多項(xiàng)式、特征值、特征向量；線性變換的值域與核；不變子空間。
（八）歐氏空間
內(nèi)積的定義及性質(zhì)；正交基、標(biāo)準(zhǔn)正交基；施密特正交化過程；正交變換與正交矩陣；子空間的正交；正交補(bǔ)；歐氏空間同構(gòu)的概念與性質(zhì)。

湖北師范大學(xué)

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