2021大連海事大學高等數(shù)學專業(yè)研究生考試大綱 正文

考試科目：高等數(shù)學
試卷滿分及考試時間：試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘。

考試內容：
一、函數(shù)、極限、連續(xù) 
（1）函數(shù)的定義及性質。
（2）數(shù)列極限與函數(shù)極限。
（3）函數(shù)的左極限與右極限。
（4）無窮小量和無窮大量 。
（5）極限存在的兩個準則(單調有界和夾逼準則)， 兩個重要極限。
（6）函數(shù)連續(xù)的概念及性質，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質。
 
二、一元函數(shù)微分學
  （1）導數(shù)和微分的概念， 函數(shù)的可導性與連續(xù)性之間的關系。
（2）導數(shù)和微分的四則運算，復合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)。
  （3）高階導數(shù)。 
  （4）微分中值定理。
   （5）洛必達法則。
  （6）函數(shù)單調性的判別。
（7）函數(shù)的極值，函數(shù)圖形的凹凸性、拐點及漸近線。  
（8） 函數(shù)的最大值和最小值。

三、一元函數(shù)積分學
（1）原函數(shù)和不定積分的概念及不定積分的基本性質。
 （2）基本積分公式。
（3）定積分的概念和基本性質 。
（4）定積分中值定理、積分上限的函數(shù)及其導數(shù) 。
（5）不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法。 
（6）有理函數(shù)、三角函數(shù)的有理式和簡單無理函數(shù)的積分 。
（7）反常(廣義)積分。
（8）定積分的應用。 

四、向量代數(shù)和空間解析幾何 
（1）向量的線性運算。 
（2）向量的數(shù)量積、向量積 、混合積 。
（3）兩向量垂直、平行的條件。
（4） 方向數(shù)與方向余弦。 
（5）曲面方程和空間曲線方程的概念 。
（6）平面方程、直線方程。
（7）平面與平面、平面與直線、直線與直線的夾角以及平行、垂直
的條件 、點到平面和點到直線的距離。 
（8）球面 、柱面 、旋轉曲面 。
（9）常用的二次曲面方程及其圖形。
（10）空間曲線的參數(shù)方程和一般方程 。
（11）空間曲線在坐標面上的投影曲線方程 。

五、多元函數(shù)微分學 
（1）多元函數(shù)的概念 。
（2）二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念。
（3）有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質 。
（4）多元函數(shù)的偏導數(shù)和全微分 。
（5）全微分存在的必要條件和充分條件。 
（6）多元復合函數(shù)、隱函數(shù)的求導法 。
（7）二階偏導數(shù) 。
（8）方向導數(shù)和梯度。
（9）空間曲線的切線和法平面。 
（10）曲面的切平面和法線。 
（11）二元函數(shù)的二階泰勒公式 。
（12）多元函數(shù)的極值和條件極值。 
（13）多元函數(shù)的最大值、最小值及其簡單應用。 

六、多元函數(shù)積分學 
（1）二重積分與三重積分的概念、性質、計算和應用；兩類曲線積
     分的概念、性質及計算。
（2）兩類曲線積分的關系。
（3）平面曲線積分與路徑無關的條件。
（4）二元函數(shù)全微分的原函數(shù)。
（5）兩類曲面積分的概念、性質及計算。
（6）兩類曲面積分的關系。
 （7）格林(Green)公式 、高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式。
 （8）散度、旋度的概念及計算。
 （9）曲線積分和曲面積分的應用 。

七、無窮級數(shù) 
（1）常數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散的概念 。
（2）級數(shù)的基本性質與收斂的必要條件 。
（3）正項級數(shù)收斂性的判別法。 
（4）交錯級數(shù)與萊布尼茨定理 。
（5）任意項級數(shù)的絕對收斂與條件收斂 。
（6）函數(shù)項級數(shù)的收斂域與和函數(shù)的概念。 
（7）冪級數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間(指開區(qū)間)和收斂域。
（8）冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂區(qū)間內的基本性質。
（9）簡單冪級數(shù)的和函數(shù)的求法。
（10）初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式。
（11）函數(shù)的傅里葉(Fourier)系數(shù)與傅里葉級數(shù) 。
（12）狄利克雷(Dirichlet)定理。
（13）函數(shù)在上的傅里葉級數(shù)函數(shù)在上的正弦級數(shù)和余弦級數(shù)。

 八、常微分方程 
 （1）常微分方程的基本概念。
 （2）變量可分離的微分方程、 齊次微分方程、 一階線性微分方
      程。
（3）伯努利(Bernoulli)方程、全微分方程。 
（4）可降階的高階微分方程。 
（5）線性微分方程解的性質及解的結構定理 。
（6）二階常系數(shù)齊次線性微分方程 。
（7）高于二階的某些常系數(shù)齊次線性微分方程 。
（8）簡單的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 。

考試要求
一、函數(shù)、極限、連續(xù) 
（1）掌握函數(shù)的表示法，會建立應用問題的函數(shù)關系。
（2）了解函數(shù)的有界性、單調性、周期性和奇偶性。 
（3）理解復合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。
（4）掌握基本初等函數(shù)的性質及其圖形，了解初等函數(shù)的概念。. 
（5）理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念以及函數(shù)極
     限存在與左、右極限之間的關系 。
（6）掌握極限的性質及四則運算法則。
（7）掌握極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限，掌握利用兩
     個重要極限求極限的方法。

二、一元函數(shù)微分學
  （1）理解導數(shù)和微分的概念，理解導數(shù)與微分的關系，理解導數(shù)的
      幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導數(shù)的
      物理意義，理解函數(shù)的可導性與連續(xù)性之間的關系。
 （2）掌握導數(shù)的四則運算法則和復合函數(shù)的求導法則，掌握基本初
      等函數(shù)的導數(shù)公式。了解微分的四則運算法則和一階微分形式
      的不變性，會求函數(shù)的微分 
（3）了解高階導數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的高階導數(shù)。 
（4）會求分段函數(shù)的導數(shù)，會求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)
     以及反函數(shù)的導數(shù)。
 （5）理解并會用羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰
     勒(Taylor)定理，了解并會用柯西(Cauchy)中值定理。
（6）掌握用洛必達法則求未定式極限的方法 。
（7）理解函數(shù)的極值概念，掌握用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性和求函數(shù)
     極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其應用。
 （8）會用導數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會求函數(shù)圖形的拐點以及水
     平、鉛直和斜漸近線，描繪函數(shù)的圖形。 
（9）了解曲率、曲率圓與曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑 。
三、一元函數(shù)積分學
（1）掌握不定積分的基本公式。
（2）掌握不定積分和定積分的性質及定積分中值定理，掌握換元積
     分法與分部積分法。 
（3）會求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡單無理函數(shù)的積分。 
（4）理解積分上限的函數(shù)，會求它的導數(shù)，掌握牛頓萊布尼茨公式。
（5）了解反常積分的概念，會計算反常積分 。
（6）掌握用定積分表達和計算一些幾何量與物理量(平面圖形的面
     積、平面曲線的弧長、旋轉的體積及側面積、平行截面面積為
     已知的立體體積、功、引力、壓力、質心、形心等)及函數(shù)的平
     均值。 
四、向量代數(shù)和空間解析幾何 
（1）掌握向量的運算(線性運算、數(shù)量積、向量積、混合積)。
（2）了解兩個向量垂直、平行的條件 。
（3）理解單位向量、方向數(shù)與方向余弦、向量的坐標表達式，掌握
     用坐標表達式進行向量運算的方法。
（4）掌握平面方程和直線方程及其求法 。
（5）會求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，并會
     利用平面、直線的相互關系(平行、垂直、相交等)解決有關問題 。
（6）會求點到直線以及點到平面的距離。 
（7）了解曲面方程和空間曲線方程的概念。 
（8）了解常用二次曲面的方程及其圖形，會求簡單的柱面和旋轉曲
     面的方程 。
（9）了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程了解空間曲線在坐標平面
     上的投影，并會求該投影曲的方程。 
五、多元函數(shù)微分學
（1）了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念。
（2）有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質 。
（3）理解多元函數(shù)偏導數(shù)和全微分的概念，會求全微分，了解全微
     分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性。 
（4）理解方向導數(shù)與梯度的概念，并掌握其計算方法 。
（5）掌握多元復合函數(shù)一階、二階偏導數(shù)的求法 。
（6）了解隱函數(shù)存在定理，會求多元隱函數(shù)的偏導數(shù) 。
（7）了解空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，
      會求它們的方程 。
（8）了解二元函數(shù)的二階泰勒公式。
（9）理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在
     的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會求二元函
     數(shù)的極值，會用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會求簡單多元函
     數(shù)的最大值和最小值，并會解決一些簡單的應用問題。 
六、多元函數(shù)積分學 
（1）理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質，了解二
     重積分的中值定理 。
（2）掌握二重積分的計算方法(直角坐標、極坐標)，會計算三重積分
     (直角坐標、柱面坐標、球坐標)。
（3）理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質及兩類曲
     線積分的關系。  
（4）掌握計算兩類曲線積分的方法 。
（5）掌握格林公式并會運用平面曲線積分與路徑無關的條件，會求
     二元函數(shù)全微分的原函數(shù)。 
（6）了解兩類曲面積分的概念、性質及兩類曲面積分的關系，掌握
     計算兩類曲面積分的方法，掌握用高斯公式計算曲面積分的方
     法，并會用斯托克斯公式計算曲線積分 。
（7）了解散度與旋度的概念，并會計算 。
（8）會用重積分、曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量(平面
     圖形的面積、體積、曲面積、弧長、質量、質心、、形心、轉動
     慣量、引力、功及流量等).。  
七、無窮級數(shù) 
（1）理解常數(shù)項級數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級數(shù)的和的概念，掌握級
     數(shù)的基本性質及收斂的必要條件。 
（2）掌握幾何級數(shù)與級數(shù)的收斂與發(fā)散的條件。 
（3）掌握正項級數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法，會用根值判
     別法。 
（4）掌握交錯級數(shù)的萊布尼茨判別法 
（5）了解任意項級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收
     斂的關系 。
（6）了解函數(shù)項級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念 。
（7）理解冪級數(shù)收斂半徑的概念、并掌握冪級數(shù)的收斂半徑、收斂
     區(qū)間及收斂域的求法。   
（8）了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內的基本性質(和函數(shù)的連續(xù)性、逐項
     求導和逐項積分)，會求一些冪級數(shù)在收斂區(qū)間內的和函數(shù)，并
     會由此求出某些數(shù)項級數(shù)。
（9）函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的充分必要條件。 
（10）掌握及的麥克勞林(Maclaurin)展開式，會用它們將一些簡單函
      數(shù)間接展開成冪級數(shù)。
（11）了解傅里葉級數(shù)的概念和狄利克雷收斂定理，會將定義在上的
      函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)，將定義在上的函數(shù)展開為正弦級數(shù)與
      余弦級數(shù)，會寫出傅里葉級數(shù)的和函數(shù)的表達式。 
八、常微分方程 
（1）了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念 。
（2）掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法。 
（3）齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會用簡單的變量代
     換解某些微分方程 。
（4）會用降階法解下列形式的微分方程。 
（5）理解線性微分方程解的性質及解的結構。
（6）掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，并會解某些高于二
     階的常系數(shù)齊次線性微分方程。
（7）會解自由項為多項式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以及它
     們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程。

?參閱：
《高等數(shù)學》 同濟大學應用數(shù)學系編 高等教育出版社 第七版

大連海事大學

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