2021長沙理工大學(xué)實變函數(shù)研究生參考書目及考試大綱 正文

科目代碼：F1001 科目名稱：實變函數(shù)
 
一、考試要求
主要考察考生是否掌握了實變函數(shù)的基本概念、基本理論和基本方法，包括集合的勢與對等、Borel集類、Lebesgue測度、可測函數(shù)、可測函數(shù)的收斂、Lebesgue積分等的基本概念；集合序列的上下限集、可測集經(jīng)交并差運算、Lebesgue積分等的計算方法，Cantor 集的構(gòu)造、可測函數(shù)“幾乎處處收斂”與“測度收斂”以及“近一致收斂”之間的關(guān)系，Lebesgue積分與廣義Riemann積分的異同，一般可測函數(shù)積分的性質(zhì)。Riemann 可積性與Lebesgue可積性之間的關(guān)系，Lebesgue積分的極限定理等；以及是否具備運用基本理論和基本方法，分析解決問題的能力。
二、考試內(nèi)容 
1、集合的基本運算；集合序列的上、下限集。集合的勢的定義，勢的性質(zhì)，勢的比較。常見集合的勢及其基本性質(zhì)； 
2、n維空間中集合的內(nèi)點、邊界點、聚點、開集、閉集等概念，明確開集的構(gòu)造.理解完備集的概念,特別要掌握Cantor 集； 
3、外測度概念，外測度與體積的關(guān)系，可測集的定義及其性質(zhì)，包括可測集經(jīng)交、并、差運算后的可測性，可數(shù)個可測集的交集或并集的可測性、可數(shù)可加性以及可測集序列的極限之可測性。Borel集類；Lebesgue可測集的結(jié)構(gòu)； 
4、可測函數(shù)的概念,可測函數(shù)的特征性質(zhì),簡單函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)。掌握“幾乎處處收斂”與“測度收斂”以及“近一致收斂”的概念和它們之間的關(guān)系； 
5、一般可測函數(shù)積分的定義，Lebesgue積分與廣義Riemann積分的異同，一般可測函數(shù)積分的性質(zhì)。Riemann 可積性與Lebesgue可積性之間的關(guān)系。Lebesgue積分的極限定理，包括Levi定理、Fatou引理、 Lebesue控制收斂定理及其應(yīng)用，Riemann可積的充要條件。掌握L 積分的概念,理解L 積分和R 積分的關(guān)系.掌握L 積分的性質(zhì),對有關(guān)L 積分的三個極限定理及其應(yīng)用。
三、題型
試卷滿分為100分，其中：判斷題占30%，計算分析題占20%，證明題占50%。
四、參考教材
1．《實變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)》(第三版)．程其襄等．高等教育出版社，2010。
2．《實變函數(shù)與泛函分析概要》（第三版）．鄭維行、王聲望主編．高等教育出版社，2005。

長沙理工大學(xué)

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