2021 年碩士研究生招生考試大綱

考試科目名稱：高等代數(shù) 考試科目代碼：865

一、 考試要求

高等代數(shù)考試大綱適用于北京工業(yè)大學(xué)理學(xué)部（0701）數(shù)學(xué)、（0714）統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)

科的碩士研究生招生考試。考試內(nèi)容主要包括多項(xiàng)式、行列式、矩陣、線性方程組、

二次型、線性空間、線性變換、歐氏空間、矩陣等。要求考生理解基本概念、掌握基

本定理、熟悉基本計(jì)算，有較強(qiáng)的運(yùn)算能力和綜合分析解決問(wèn)題能力。

二、 考試內(nèi)容

（一）多項(xiàng)式理論

1.理解一元多項(xiàng)式的概念，多項(xiàng)式的因式分解、因式分解定理

2.掌握多項(xiàng)式的加、減、乘、除運(yùn)算、多項(xiàng)式的整除、最大公因式、重因式判

別法、有理系數(shù)多項(xiàng)式、愛(ài)森斯坦因判別法

（二）行列式

1.理解 n 元排列、n 級(jí)行列式的定義

2.熟練掌握 n 級(jí)行列式定義性質(zhì)、n 級(jí)行列式（按行或列）展開、n 級(jí)行列式的

計(jì)算方法

3.熟悉代數(shù)余子式的相關(guān)結(jié)論、克來(lái)姆法則、范得蒙行列式

（三）線性方程組

1.理解 n 維向量的運(yùn)算及性質(zhì)、線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)

2.熟練掌握高斯消元法、矩陣的秩、線性方程組有解的判別定理、線性方程組

解的結(jié)構(gòu)

（四）矩陣

熟練掌握矩陣的各種運(yùn)算、矩陣乘積的行列式、矩陣的秩、分塊矩陣、逆矩

陣、初等變換與初等矩陣

（五）二次型1.熟悉二次型的矩陣表示[1]

2.熟練掌握二次型的標(biāo)準(zhǔn)型、二次型的規(guī)范型、慣性定理、正定二次型

（六）線性空間

1.理解線性空間的定義及性質(zhì)、維數(shù)、線性子空間、線性空間的同構(gòu)

2.熟練掌握基與坐標(biāo)、基變換與坐標(biāo)變換、子空間的交與和及維數(shù)公式、子空

間的直和及其等價(jià)命題

（七）線性變換

1.理解線性變換的定義與運(yùn)算，了解哈密爾特—凱萊定理、若當(dāng)矩陣及其性質(zhì)

2.熟練掌握線性變換的矩陣、線性變換的線性空間與基域上的 n n 方陣的線性

空間的同構(gòu)、矩陣的相似、特征值與特征向量、矩陣對(duì)角化、線性變換的值域與

核、不變子空間

（八）?-矩陣

1.掌握?-矩陣及其運(yùn)算、?-矩陣在初等變換下的標(biāo)準(zhǔn)型

2.會(huì)求不變因子、初等因子及利用初等因子求矩陣的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形

（九）歐幾里得空間

1.理解歐幾里得空間的定義和基本性質(zhì)、標(biāo)準(zhǔn)正交基

2.熟練掌握柯西—布涅柯夫斯基不等式、施密特正交化過(guò)程、正交變換與正交

矩陣、子空間與正交補(bǔ)空間、對(duì)稱變換與對(duì)稱矩陣、利用正交矩陣化實(shí)對(duì)稱矩陣為

對(duì)角矩陣

三、 參考書目

《高等代數(shù)》，北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組編，北京：高等教

育出版社，2010 年 3 月

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